26 PREMIÈRE PARTIE.

C’est-à-dire que les valeurs de sin f a sont les mêmes que cellesde cos f a ; et c’est ce qu’indiquent aussi les formules [ 9 ] et [ 10 ].

11 reste maintenant une difficulté à éclaircir : c’est desavoircomment, lorsqu’on connaît l’arc a et son sinus, on peut discer-ner celle des quatre déterminations qu’il faut choisir pour sin faou pour cos f a : car on comprend bien qu’il ne doit y en avoirqu’une seule. Afin d’abréger, ne considérons que sin fa ; en pre-nant les radicaux avec leurs différais signes, les quatre valeurspeuvent s’écrire ainsi :

sinf a=zfcf (\/ 1 + sin a — y' 1 — sin .a ),sinfa = :±:f (\/ 1 -J- sin a -f- \/ 1 —sina).

D’abord il est évident que les deux premières sont égales etde signes contraires ; et il en est de même des deux dernières.Ensuite, si on fait le carré des unes, on le trouve -< f ; tandisque celui des autres est > f : or, on sait ( 8 ) que sin’45° =cos’45° = f ; donc, abstraction des signes , les deux premièresvaleurs sont moindres que sin 45°, et les deux dernières sont plusgrandes.

Mais, d’un autre côté, quand un arc est donné, il est toujoursfacile de déterminer à priori si le sinus de sa moitié est positif ounégatif, et s’il doit être moindre ou plus grand que celui de 45°.Ainsi toute indétermination cessera. Les mêmes raisonnemenss’appliquent au cosinus.

Par exemple, soit a -< 90 ° ; sin f a devra être positif et moindreque sin 45° ; cos fa devra être positif aussi, mais plus grand quecos 4-5° : donc il faudra prendre les valeurs [ 9 ] et [ 10 ] avec lessignes qui y sont en évidence.

Ces formules sont, comme on le voit, appropriées aux cas desarcs moindres que 90 ®. On a le môme soin à l’égard de toutes lesformules trigonométriques, parce que ces cas sont en effet lesplus ordinaires.

33. Passons à la trisection des arcs. En changeant a en fa, lesformules [3] et [4] du n° 3o donnent «

sin a = 3 sin fa—4-'>in i j <t >cos a = 4 cos 3 fa— 3 cos f a.