TRIGONOMETRIE.

et tirons-en les valeurs de sin ~a et cos ‘ a. En ajoutant d’abordla première à la deuxième, et en la retranchant ensuite, puis enextrayant la racine carrée, il vient

cos-ja + sin \/ \ ■+• sin a,cos-ja—siiiY«=\/ 1 — sin a:d’où l’on déduit facilement les valeurs cherchées,

[9] sin|n = -î v/> + s ' n «—4 V 1 —sin a ,

[10] cos f»=4 V 71 + sin a -f- 4 V 71 — sin a.

A cause des deux radicaux, chacune de ces expressions aquatre valeurs.Pour démontrer à priori que cela doit être ainsi,onobserve qu’elles doivent donner le sinus et le cosinus de la moitiéde tous les arcs qui ont le même sinus : or (i.() ces arcs résultentdes formules

X = ‘2/dl + a, x— ('•*/£+ 1 ) Il —

donc les expressions de sin [a et cos \a doivent donner le sinuset le cosinus des arcs représentés par

/dl-j- 4 a et (fc-j-Ÿjil — 7 a.

Mais on peut supprimer /dl, en ayant soin de conserver ou dechanger les signes du sinus et du cosinus selon que k est pair ouimpair. Par conséquent on doit avoir pour sin \a, et aussi pourcos ~a, quatre valeurs, savoir :

sin 4 « =—sin 4 « et sin 4 u=±.sin( 4 ll— 4 a );cos 4 «=±cos 4 « et cos 4 rt = dzcos( 41 l—|a).

On voit de plus qu’elles sont égales deux à deux, et de signes con-traires. Si a = 90°, on a }a = 45 °, r II — 4 a = 45 ° ; et les qua-tre valeurs se réduisent à deux. .

Une autre remarque se présente encore. Puisque II représente180 0 , il s’ensuit que les deux arcs ja et jll — fa sont complé-mens l’un de l’autre, et par s^iite les valeurs précédentes peuventêtre présentées ainsi : •

sin4rt=±sin|«, sin4a = ±cos4a;cos 4 a = ± cos | a, oost<i =±sin4