68 PREMIÈRE PARTIE.

On peut y luire différentes permutations entre les lettres, eton obtient en tout six équations, savoir:

[ 5 ] cota sin b — cos b cosC -(- sin C cot A,

[6] cot b sin a — cos a cos C + sin C cot B,

[7] cot a sin c = cos c cos B-)-sin B cot A,

[8] cot c sin a = cos a cos B -j- sin BcotC,

1 9] cot b sin c — cos c cos A + sin A colB,

[10] côte sin b —cos b cos A -(-sin A col C.

99. 4 ° Relation entre un côté et les trois angles. C’est la der-nière qui reste à chercher. Eliminons b et c entre les équations[1], [2], [ 3 ]. A cet effet, mettons d’abord dans la i lc la valeur decos c, tirée de la 3 e : il vient, comme ci-dessus,

cosasm^J^ , .

-^-= cos b cos C 4 -

sin a '

sine cos Asin a ’

et celte relation, au moyen des égalités

sin b sin B sin c sin C

-7— -- -—J- et -7 — - ——,

sin a sin A sin a sm A

se change facilement en celle-ci :

cos a sin B = cos b siu A cos C+ cos A sinC.

En effectuant les mêmes calculs sur l’équation [2], ou mieux, enchangeant, dans la dernière, a et A en b et B, et vice versa, on a

cos b sin xV=cos a sin BcosC+cosB sin C.

Il 11’y a donc plus qu’à éliminer cos b entre les deux équations pré-cédentes. On trouve ainsi, après toutes réductions, la relationcherchée entre A, B, C et a, laquelle, étant appliquée aux troisangles successivement, donne les trois équations

[11] cos A— — cos B cos C -f- sin B sin C cos a,

[12] eosB = — cosAcosC-)-sinAsinCcosè,

[ 1 3 ] cos C = —cos A cos B -f- sin A sin B cos c.

100. L’analogie de ces équations avec la formule fondamen-