74 PREMIÈRE PARTIE.

le triangle polaire, sera droit. De plus, on connaîtra deux descinq autres élémens dcce triangle; donc on pourra le résoudre parce qui a été dit plus haut : or il est évident que la résolution dece triangle fera trouver le premier.

i° Quand un triangle est isoscèle, les deux côtés égaux ne sontcomptés que pour un seul élément, les angles qui leur sont opposés,aussi pour un seul ; et alors il suffit de deux élémens pour déter-miner le triangle. Or, en menant un arc de grand cercle du som-met au milieu de la base, on le décompose en deux triangles rec-tangles , égaux dans toutes leurs parties, et dans chacun desquelson connaîtra deux élémens, outre l’angle droit ; donc les trianglesisoscèles peuvent se résoudre par les triangles rectangles.

3 ° Soit un triangle sphérique ABC (fïg 3 o) dans lequel on aa-\-b = iBo°. En prolongeant a et c jusqu’à leur intersection 1 ),on aura a + CD =i8o°; donc CD=ô. Or chaque élément connudu triangle ABC en faitconnaître un dans le triangle isoscèle ACD,et vice versa; donc la résolution d’un triangle dans lequel lasomme de deux côtés est égale à i8o° revient à celle d’un triangleisoscèle, et par suite à celle d’un triangle rectangle.

4 ° La même chose peut se dire d’un triangle sphérique danslequel deux angles sont supplémens l’un de l’autre;car on ne peutpas avoir a -f- b — 18o° sans avoir en même temps A + B = 18o°,et vice versa. En effet, dans le triangle isoscèle ACD, l’angleCAD = D = B : or CAD -f- CAB = i8o°; donc aussi, dans letriangle ABC, on doit avoir A + B = i8o°.

Résolution des triangles sphériques quelconques.

ua. Premier cas. Étant donnés les trois côtés a, b, c, trouverles angles A, B, C.

Pour avoir A, par exemple, de l’équation [i] n° 96 on tire

. cos a —cos b cos c

cos A =- : —7—--;

sin 0 sm c

mais on obtient une expression mieux appropriée aux loga-rithmes en cherchant siujA, cos^A, ou tangjA, comme 011 l’afait pour les triangles rectilignes. Prenons donc ( 3 i) la formulea sin 3 4A = i—cos A, et mettons-y la valeur de cos A : on trouve