TRIGONOMÉTRIE.

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sont plus commodes pour le calcul logarithmique. En posantA+fi + C = i8o°-[-2S, ces expressions sont

sinSsin(A—S)

siu B sin C

sin (B—S) sin (G—S)

sin B sin G

tangjfl

sin S sin (A—S)

sin (B—S) sin (G—S) '

Si les trois derniers cas ont une si grande analogie avec les troispremiers, c’est, qu’eu effet ils peuvent s’y ramener par les pro-priétés du triangle polaire (ioo).

Sur les cas douteux des triaugles sphériques.

118. Les seuls cas dans lesquels il y ail incertitude sur l’espècedes élémens inconnus sont le second et le cinquième. Je me pro-pose , dans cet article, de rechercher à quels symptômes on re-1 connaîtra qu’il doit y avoir deux solutions ou une seule, ou mêmeque le triangle est impossible ; et pour cela je vais établir d’abordplusieurs propositions sur lesquelles je m’appuierai.

Considérons sur une sphère un demi-cercle 1 )CI)' ( fig. 3i)perpendiculaire à un cercle entier DI 11 )', prenons Cl) < 90°,et menons des arcs de grand cercle GB, CB', Cil,... du pointC aux différons points de la circonférence DIIJ.)'. ProlongeonsCI) d’une quantité égale G'D, et joignons C'B. Los trianglesCDB, C'I)B ont un angle droit compris entre côtés égaux ;donc GB = C'B. Or on a CDC ' < CB+ BC' ; donc CD < CB.Donc i° l'arc CD est le plus petit qu’on puisse mener du point Cà la circonférence D 11 D' ; et par suite CD' est le plus grand.

Soit I)B' = DB : les triangles CDB, CDB' ont aussi un angledroit compris entre côtés égaux; donc CB' = CB. Donc 2 0 lesarcs obliques également éloignés de CD, ou de CI)', sont égaux.

Enfin soit DU ]> DB : menons C'il , et prolongeons CBjusqu’à sa rencontre I avec C'II. Puisque l’arc CC' est moindrequ’un demi-cercle, il doit être rencontré par le prolongementde CB, au-delà du point C', ce qui exige que l’intersection I se