PREMIÈRE PARTIE.

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fasse entre H et C'. On a donc C'B < CI + IB, et par suiteC'B -}- BC C'I -f- IC. Mais on a IC O III + HC, et par suiteC'I-f-lC <C'II-f-IÏC ; donc à plus forte raison C'B-j-BC<C'I 1 + 1 IC. Or C'B = BC et C'II= UC ; donc on a BC < IIC.Donc 3 ° les arcs obliques sont d’autant, plus grands qu’ils s’écartentdavantage de CD, ou qu’ils se rapprochent davantage de CD'.

119. Maintenant supposons qu’on veuille construire un trianglesphérique avec deux côtés donnés a , b , et l’angle A opposé à a.

D’abord je remarquerai que certains cas d’impossibilité sontindiqués par le calcul même. Pour les faire connaître, je fais(fig. 3 a et 33 ) l’angle CAB = A et AC =b , je prolonge AC, AB,jusqu’à leur intersection E , puis j’abaisse CI) perpendiculairesur AE. L’arc CD doit être de même espece que l’angle A (io 3 ) ;donc, lorsque A est aigu, CD est la plus courte distance du pointC à la demi-circonférence AE, et c’est la plus grande lorsque Aest obtus (118, i°). Dans la première hypothèse, le triangle seraimpossible si l’on a a OCD, ce qui donne sin a <j>in CD ; et dansla seconde il sera impossible si l’on a a )> CD, ce qui donne en-core sin a O sin CD. Or, dans le triangle rectangle ACD, on a

1 : sin b :: sin A : sinCD = sin b sin xV ;

donc, dans les deux hypothèses, on aurait sin a <) sin b sin A.D’un autre côté, quand on cherche l’angle B du triangle in-connu ACB on a

. . • , • sin b sin A

sin a : sin A::sm l/:sinll = ~-:

sin a

donc cette valeur de sin B serait )> 1, ce qui indique une im-possibilité évidente.

Si l’on donnait a = CD, il n’v aurait que le seul trianglerectangle ACD qui fût possible ; et c’est ce qu’indique encorela valeur de sin B, laquelle devient sin B = i.

120. Laissant donc ces cas de côté, examinons les différentesrelations do grandeur que peuvent présenter les données a, b, A.

Soit A O ç)o°et b<Cç)o° ( fig. 32 ). Puisque A cl b sont < 90°,AD est aussi O 90° (io 3 ) ; donc AD <) DE. Cela posé, si l’on aen outre a <) b , il est clair qu’on peut placer entre CA et CD un