TRIGONOMÉTRIE.

Ainsi la formule [A] est vraie, quand on prend pour n unnombre quelconque positif ou négatif.

J’ai laissé de côté les exposans irrationnels, attendu qu’ilsn’olïrent aucun sens, à moins qu’on ne les remplace par des nom-bres commensurables, qui d’ailleurs peuvent en différer aussi peuqu’on voudra. Et quant aux exposans imaginaires, ils ne sonten eux-mêmes susceptibles d’aucune interprétation.

ia5. La formule [A], qui est si simple et si élégante, a undéfaut bien grave, quand l’exposant est une fraction. En effet,le premier membre, étant alors équivalent à un radical, doitavoir plusieurs valeurs, et cependant le second membre n’en pré-sente qu’une seule. Les explications qui suivent ont pour objetde corriger cette imperfection.

Revenons à la formule [a], dans laquelle n est un nombreentier positif. D’après les principes de l’algèbre, le premier mem-

n - - --

bre , qui équivaut à y cos<p -j-V 7 — i sin<p , doit alors avoir nvaleurs différentes ; et, pour que le second les donne toutes, je vaismontrer qu’il suffit d’y remplacer <p par tous les arcs qui ontmême sinus et même cosinus que <p lui-même.

L’expression générale de ces arcs est <p —j— AC , C désignant lacirconférence entière, et k un nombre entier quelconque positifou négatif. En mettant <p -j -kC au lieu de a - , le second membrede la formule [a] devient

ç-\-kC

[5]

et, dans cet état, je dis qu’il a précisément les mêmes valeurs quele premier membre.

D’abord, puisque n est entier, il est clair, en vertu de laformule [i], qu’en élevant ce second membre à la puissance n,on retombe sur cosp-j-y/— i sin<p.

En second lieu, si on y fait successivement k = o, k= i ,k = 2 ,... k — n — i, on obtient n valeurs différentes. En effet,soient deux quelconques de ces valeurs,

— et cos

,sc , m / —- . <p-\~pc

r -Ly~ —1- y/ — i sut — -