DEUXIÈME PARTIE.

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Comme le premier membre est la somme de deux carrés, on voitque si r est imaginaire l’équation est impossible ; et si r est zéro,elle ne peut être satisfaite qu’en égalant chaque carré à zéro, cequi conduit a x = a, y—P.

Théorèmes relatifs au cercle.

277. Je vais faire voir ici comment on peut démontrer par lecalcul les théorèmes sur le cercle, établis dans la Géométrie.

Reprenons l’équation du cercle,

y* + x*= R’.

Elle donne y =±\/ R 2 — x 1 ; donc il y a (fig. 112) deux ordon-nées égales et opposées, MP et PN, pour chaque abscisse AP.Or MA' étant perpendiculaire à AR, si on applique la partie in-férieure du cercle sur la partie supérieure, en la faisant tournerautour du diamètre BC, le point N tombera sur le point M ; etpareillement, tous les autres points de la partie BNC se placerontsur la partie supérieure BMC. I)e là on conclut

i° Que tout diamètre divise te cercle et la circonférence en deuxparties égales ;

2 0 Que le diamètre, perpendiculaire à une corde, divise aussicette corde et l’arc soutendu, chacun en deux parties égoles.

278. Il est évident, sur la figure, que CP=R-j-.x et BP=R— x;donc

CP X BP = (R + x) (R— x) = R’ — ar\

Mais, par l’équation du cercle, on a MP i =ÿ , = R 1 —* 1 ;

donc _

MP’=CPXBP;

donc l’ordonnée , perpendiculaire au diamètre, est moyenne pro-portionnelle entre les deux segment de ce diamètre.

279. Si on mène la corde CM, et qu’on désigne par x et y lescoordonnées du point M, on aura

CM*= y 1 + (#+R) 4 = y 1 +as*■+■+ R*.

Or, l’équation du cercle donne x 2 -(-?/' = R* ; donc

CM* = 2R’ + ?.Rx = 2R (R-{-.*) ;