GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 231)

Pour résoudre les équations, on effectue le carré ( x —a)’ et onretranche la seconde de la première : il vient ixx — « 2 = Ip— R'*,d’où l’on tire

a 2 -f- R* — R’ 2

X =—*-!-.

•lx

En substituant cette valeur dans la première équation, on obtientles valeurs correspondantes de y , savoir :

y = («‘+R’—R' 1 )’.

On ne trouve que deux solutions, et de là ce théorème connu :Deux circonférences ne peuvent avoir plus de deux points communs,à moins quelles ne se confondent.

Les deux points d’intersection ayant une même abscisse AP ,mais deux ordonnées MP et NP, égales et opposées , on conclutencore cet autre théorème: Quand deux circonférences se coupent,la ligne des centres est perpendiculaire à la corde qui joint lespoints d’intersection, et la divise en deux parties égales.

Pour qu’il y ait en effet intersection , il faut que la quantitésoumise au radical, dans les valeurs de y , soit positive. Alin dereconnaître dans quel cas cette condition est remplie, remarquonsd’abord que cette quantité est une différence de carrés, et quepar suite y peut s’écrire ainsi :

y = ± ^\/('JaR -fa 2 + R 2 — 11' 2 ) (uaR — a 2 —k 2 -f R' 2 ).

Chaque facteur est lui-même une différence de carrés, et peutaussi se décomposer en deux autres ; et de là résulte

y = ± ^y/(7+ R + K') (« + K—■R ! KR + R'— «) («+ R'— R).

R est toujours permis de placer l’origine au contre du plus grandcercle, et de prendre les abscisses positives du même côté quele centre de l’autre cercle ; c’est pourquoi nous supposerons x po-sitif, et R plus grand que R' ou tout au plus égal. Alors les deuxpremiers facteurs sont positifs, et, pour que y soit réel, il fautque les deux autres facteurs soient tous deux positifs, ou tousdeux négatifs. Ou devrait donc avoir en même temps

a<R+R' et Il<a + R',a>R + R' et R>«+R':

ou bien