GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 267

angles droits T3IS, R3IS, on retranche les angles égaux T3IF,RMF', il restera FMS = F'3IS.

Donc, clans l'ellipse, les rayons vecteurs menés au point decontact font avec la tangente, d’un même côte de cette ligne, desangles égaux ; et la normale divise en deux parties égales l’anglede ces rayons vecteurs.

33 1 . Ces propriétés fournissent une construction très-simplepour mener une tangente à l’ellipse par un point donné.

Supposons d’abord que ce point donné 31 (lig. i3i) soit surl’ellipse. On mène les rayons vecteurs F3I et F'3I, on prolongel’un d’eux, par exemple F'3I, d’une quantité 31K égale à F3I, eton tire FK : la ligne 3IT, perpendiculaire à FK, sera la tangentedemandée. En effet, d’après la construction, le triangle IvMFest isoscèle et l’angle K3IT - T3IF : or KMT = RJIF' ; doncTMF = RMF' ; donc RT est tangente.

On peut d’ailleurs s’assurer que celte droite a tous ses pointshors de l’ellipse, à l’exception du point 31. En effet, pour toutautre point R, on aurait F'R-j-RK> F'31+3IK: or F'3I + 3IKest égal au grand axe na ; donc le point R est hors de l’ellipse (3 1 o).

33a. liemarque. D’après la construction, il est évident que lepoint O, où 31T rencontre FK, est le milieu de FK ; et commele point A est le milieu de F'F, il s’ensuit que la droite AO est pa-rallèle à F'K et égale à £F'K : or FTv — m ; donc AO = a.

Donc, si des foyers on abaisse des perpendiculaires sur les tan-gentes à l’ellipse, la distance des pieils de ces perpendiculaires , aucentre de l'ellipse, est constante et égale au demi-grand axe : desorte que tous ces points ont pour lieu géométrique une circonfé-rence décrite sur le grand axe comme diamètre.

333. Supposons maintenant que le point donné T (fig. i3a) soitextérieur à l’ellipse. Si le problème était résolu, que T31 fûtla tangente et 31 le point de contact, en menant par le foyer F'la ligne F'311v égale au grand axe aa, et par le foyer F la ligneFK, la tangente T3I serait perpendiculaire sur le milieu deFK , et les distances TF, TK, seraient égales ; donc le pointK sera déterminé par la rencontre de deux circonférences, l’unedécrite du point F' avec un rayon égal à aa, et l’autre, du pointT avec un rayon égal à la distance TF. Le point K étant connu ,