DEUXIÈME PARTIE.

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d’ailleurs que les deux branches qui composent l’hyperboleprésentent leur convexité à l’axe des y : autrement, on pourraitmener une droite qui couperait cette courbe du second ordre enplus de deux points, ce qui est impossible.

362. MP étant une ordonnée quelconque de l’hyperbole, letriangle rectangle AMP donne

L’abscisse x pouvant croître jusqu’à l’infini, AM peut croîtreaussi jusqu’à l’infini. Mais, dans l’hyperbole, la plus petite valeurde x est a ; le minimum de AM sera donc AB = a. Ainsi, le demi-axe transverse est la ligne la -plus courte que l’on puisse menerentre l’hypei'bole et son centre.

363. L’équation [A] donne

V’=^ (**— “ 2 ) = ^( x ~ a ) (*+«) =or, ÿ= MP, x — a = BP, x-)-a = CP ; doncMP’= — X BP X CP.

a*

Pour toute autre ordonnée M'P'on aurait une semblable relation;par conséquent

MP 7 BP X CPMP 7 “BP' X CP''

Donc les carrés des ordonnées, perpendiculaires au premier axe del’hyperbole, sont comme les produits des distances comprises entreles extrémités de cet axe et les pieds des ordonnées.

364- Pour chaque point appartenant à l’hyperbole on doitavoir a 2 y* — b 2 x 2 a'b 2 = o. Si on considère un point N situéentre les deux branches, et que, perpendiculairement à Ay , onmène QN dont le prolongement rencontre l’hyperbole en M ,il est évident que l’abscisse du point N sera moindre que celledu point M, et que l’ordonnée sera la même ; donc la quantitéa a ip — fax 2 -j- a 2 b 2 , qui est nulle pour le point M, doit être po-sitive pour le point N. Un raisonnement semblable montre

\/x 2 -i