GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.L'hyperbole rapportée & sec diamètres conjugués, etc.

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395. L’équation de l’hyperbole rapportée à ses axes étant[h] a 2 y 2 — b 2 x 2 — — a 2 b*,

on en déduira l’équation aux diamètres conjugués, en cherchantles systèmes de coordonnées pour lesquels l’équation de cettecourbe ne contient les variables qu’au carré.

En conséquence, on substitue dans [/t] les valeurs

aj=a:'cosa+î/'cosa', y = .r'sin a-f-ÿ'sina',on fait,. pour abréger,

A = a 2 sin*a' — b 2 cos 1 a',

B = a 1 sin 2 a — b 2 cos 1 a,

C — a’sinasina' — i’COSaCOSa',

et on a l’équation transformée

[1] Ay' 2 -\-üx' 2 -\- < iCx'y'= — a 2 b % :

or, pour qu’elle ait la forme demandée, il faut poser C=o,c’est-à-dire ,

[a] a 2 sin a sin a'— b 2 cos a cos a' = o ;

et par-là on réduit lequation [1] à celle-ci[3] ky ' 1 -j- B.T' 1 = — a 2 b 2 .

396. A ?/' = o répond x ' 2 = — ~ — = — ; j* -•

• J r B a 2 sm 1 a — b 2 cos 1 a

et à x' = o répond y ' 2 = —r—- = —=- r~—t -

1 J A a 1 sin 1 a' — à 2 cos 1 a'

Ces valeurs sont de signes diflérens, car la relation [2] donnea 2 sin 2 a X « 2 sin’ a' = b 2 cos 1 a y, b 2 cos 1 a' ;

i

et on voit que si a 2 sin 2 a est moindre que b 2 cos 2 a, il faut, parcompensation, que a 2 sin 2 a' soit plus grand que b 2 cos 2 a ', et réci-proquement. Donc l’un des nouveaux axes est rencontré par lacourbe, et l’autre ne l’est point, ce qu’on savait déjà ( 3 gi).

Prenons pour axe des x' celui qui est rencontré, et désignonspar : xa' la partie de cet axe comprise dans l’hyperbole, on aura