GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 355

angle APH donne AH : x :: sin APII : sin A11P. Or, sin AP1I =

sin (a - 1 - 2/3 ) et sin AIIP = eos B ; donc Ail =— ' 2 — .v ^ r cos/3

Le triangle SAG donne ?.AG=AC = 2dsin/3; et en retran-chant AII de AC, il vient PF = ad sin /3— - S ' n 2êl .

‘ cos/3

Enfin, en remplaçant EP, PF, par leurs valeurs, on a

[S]

2 d sin asm/3 sm a sm (a-4-2/3)

1 /* =-3 —- x - — x 1

J cos/3 cos 2 /3

Donc les sections coniques sont des courbes du second ordre.

Pour démontrer la proposition réciproque, il faut remarquerd’abord qu’en prenant des coordonnées rectangulaires et en pla-çant l’origine à un sommet, les trois courbes du second ordresont contenues dans l’équation

[s] y*= 2 pæ + nx%

2 p désignant le paramètre de la courbe, et n le carré du rapportdu second axe au premier (abstraction faite du signe ). Alors ,la question revient à démontrer que les quantités p , n , /3, étantdonnées, on peut déterminer pour les inconnues d et a des va-leurs réelles qui rendent les liquations [S] et [s] identiques.

En égalant respectivement les coefficiens de x et de x % dansles deux équations, il vient

[>]

d sin a sin 8

sin a sin(a-{-2/3) _cos 2 /3

■n.

L’équation [i] donne pour d une valeur réelle quand a est lui-même réel. Mais la forme de l’équation [ 2 ] n’est pas commodepour faire connaître cet angle ; c’est pourquoi nous allons lachanger.

Si on prend les formules trigonomélriques qui exprimentcos (A+B ) et cos (A—B ), et qu’on retranche la première de laseconde, on trouve (38)

2 sinA sinB = cos (A—B)—cos (A-j-B).Soit fait A=a-j-2/3 et B = a, cette formule donne2 sin a sin («+2/3) = cos 2/3 — cos ( 2 a + 2/3).