5o0 DEUXIÈME PARTIE.

P:tr suite, 1 équation [2] devient cos 2/3 — cos (o.a 4- 2/3) =— 2 n cos 2 fi , d’où

cos (2a -|- 2/3) = cos 2/3 -f- 2n cos 1 /3.

Or, cos 2/3 = cos 1 /3 — sin 1 /3 = 2 cos 1 /3 — 1 ; donc enfin

cos (2a-}-2/3) = 2 ( 1 + n) cos 2 p — 1.

Dans l’ellipse, le rapport n est négatif et </ 1. Il s’ensuit quela valeur précédente est comprise entre + 1 et — 1 ; donc l’arc2a + 2/3 est réel, et par suite a l’est aussi ; donc un cône droit étantdonné, on peut toujours le couper suivant une ellipse donnée.

Dans l’hyperbole, n est positif et peut avoir une grandeurquelconque. Si la valeur de cos (2a + 2(5) est négative, il estévident qu’elle sera plus petite que l’unité, et par conséquent asera réel. Mais il n’en est plus ainsi quand cette valeur est posi-tive : il faut alors qu’on ait

2 (1 + n)cos 2 /3—1 < 1, d’où cos/3<

Pour interpréter celte condition, remettons au lieu de n le carré

du rapport des axes : elle devient cos /3 < — =JL==. Or, si on dé-“ + « 2 + i 2

signe par 0 l’angle des asymptotes avec l’axe transverse, on a aussi

cos0 =— —— =; donc cos/3<cosfl; donc /3>0 et 2/3>20.

y/ a 2 + 0 2

Ainsi, on retrouve cette condition que ,pour placer une hyperbolesur un cône droit, il faut (pie, dans ce cône, l'angle au sommetsoit au moins égal à celui des asymptotes.

Dans la parabole, n — o, et alors l’équation [2] donne ousina=o ou sin (a+2/3) = o. La première valeur n’est pasadmissible : car en la mettant dans l’équation [1] on auraitp = o, et l’équation [s] ne représenterait plus une parabole.On doit donc prendre sin (a + 2/3) = 0. Or, a + 2/3 doit être< 36o° ; donc il faut poser ou « + 2/3=0 ou a + 2/3 = i8o°.

O11 peut négliger l’égalité a+ 2/3 —o, car elle donnerait a né-gatif ; et quant à l’égalité a+ 2/3= 180 0 , elle montre que la ligneA je (fig. 201) doit être parallèle à ST: c’est en effet ce qui doitarriver dans le cas de la parabole. Ainsi, toutes les parabolespeuvent se trouver en coupant un même cône droit par des plans.