364 DEUXIÈME PARTIE.

Considérons des polynômes quelconques en x et y, et soient

U = A.xPij't -f- B x r y s -f- etc.,

U I = A'xpy/'-f B , x r 'y»‘ + etc.,

U» = A"xp’ij<i’+ B''x r Y'+ etc.etc.

Supposons que tous les termes de U soient du degré ni, que ceuxde U, soient du degré m —i, et ainsi de suite: les courbes algé-briques de l’ordre m pourront être représentées par l’équation

[1] U + U, +U, -f- etc. =o.

Cela posé, pour avoir c, il faut faire y— ex dans [i], et cher-cher la valeur de c correspondante à x = ±co Or, puisque lestermes de U sont du degré m, il est clair qu’après la substitutionde ex , ils contiendront tous x m ; de même ceux de U, contien-dront x m ~ 1 ; et ainsi de suite. Pour abréger, faisons

T =A (9 -J- Bc s -f- etc., T, = A'c'?'—]— B'c s '-f-etc.,

T, = A"t r+ BV + etc., etc. ;

l’éq. [i] deviendra T.rm+T I a^- I + T 2 as , »~- J -J-etc. = o; oubien, en divisant par x m ,

T +^ + ^ + etc -=°-Maintenant supposons x = ± <x>, il reste

[2] T = o, ou Ac<? -J- Bc s -f- etc. = o ;

et telle est l’équation dont les racines réelles seront les valeurs ducoefficient c.

Connaissant c, passons à la détermination de d. Dans [1] je faisy — cx=d, ou plutôt y = cx-\-d; je représente par T', T",..,ï,', T,",..., T,', T,",..., etc., les polynômes dérivés relatifs àc de T, T,, T a , etc. ; et l’équation résultante, ordonnée parrapport à x, sera

Tx m +(T'd-l-T I )ai wl —»+ etc. = o.