GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 565

La partie Tx m est nulle en vertu de l’équation [a]. En la sup-primant , divisant par x m ~ l , puis supposant x — dzoe, il reste

[ 3 ] 1 d -)- 1 ! — o,

équation qui fera connaître la valeur de d correspondante à cha-que valeur de c.

Ainsi les asymptotes non parallèles aux y sont déterminées parles équations [2] et [ 3 ]. La première, qui détermine c , dépenduniquement des coelïîciens du polynôme U ; et que la seconde,celle qui détermine d, se forme au moyen des seuls polynômesU et U,, sans rien emprunter à ceux d’un ordre inférieur.

Il y a cependant une observation importante à faire. Il peut arriverqu’une valeur de c fasse disparaître de l’équation T.r:” 1 -J- etc. = onon-seulement les termes en x m , mais aussi ceux en x m ~ l . Dansce cas on divise par as” 1 — 3 , et on a, pour déterminer d, l’équation

T" T '

-—-d i + —d+ T^ — o,

1.2 1

laquelle, en général, est du second degré.

S’il arrive que les termes en x m ~ 2 disparaissent aussi, on re-courra à ceux qui renferment x m ~ 3 ; et ainsi de suite.

Pour 11e manquer aucune asymptote, il ne faut pas oublier dechercher celles qui sont parallèles aux y. Elles sont déterminéespar les valeurs de x qui rendent y infini : or, en supposant cjuel’équation proposée soit ordonnée par rapport à y, et qu’alors ellesoit Vi/ n -f-Viy n-I + etc. =0, on la divisera par y n , et onreconnaîtra sur-le-champ que les valeurs de x , p^ur lesquelleson a y = dzco , sont données par l’équation Y = 0.

4.76. Exemple I. Soit l’équation générale du 2 e degré

[A] Ay 2 -\-Bxy-\-Cx 1 -{-i)y -j-Eas + F = o,

il faut chercher ce que deviennent dans ce cas les équations [2] et[ 3 ]. Pour plus de commodité, on remarquera que T et T, ne sontautre chose que les polynômes U et U,, dans lesquels on a sup-primé x et changé y en c.

Cela posé, 011 aura U = Ay I '-|-B.M/-[-Ca: a , Ui = D</+E.r;T = Ac 2 + Ile + C, 1 \ = De -f- E, T = 2Ac-j-B. Par suite leséquations [2] et [ 3 ] deviennent