GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 577

et pour que cette équation soit identique avec [i], il faut qu’onait — ‘ix —a, a 1 + p 1 — K 2 ~b, d’où

« = R’=-^-Z>+| 5 \

a 4

Ainsi, on peut prendre /3 arbitrairement, pourvu que R’ soitpositif; et alors on aura un cercle dont l’intersection avec laligne des x déterminera les racines de l’équation [i],

4go. Soit à construire l’équation du 3 e degré,

[a] æ 3 + ax-}-b = o,

D’abord on peut la remplacer par celles-ci,y=x 3 , y-\-ax-\-b = o:

de sorte qu’après avoir construit la courbe y = x 3 , il n’y aura plusqu’à construire une ligne droite. Et remarquez que la même courbepeut servir, quels que soient les coefficiens de l’équation [2].

Mais il est facile d’éviter les lignes supérieures au deuxièmeordre. Par exemple, on peut substituer à l’équation [2], lessuivantes :

‘ ky=x % , kxy-\-ax-\-b — o.

Or celles-ci représentent une parabole et une hyperbole. Commele paramètre de la parabole est arbitraire, 011 peut employer tou-jours la même parabole; mais l’hyperbole doit être différentedans chaque cas particulier de l’équation [2].

Enfin regarde-t-on comme plus simple de faire usage de laparabole et du cercle? on le peut encore, et c’est ce qu’on verraà la fin du numéro suivant.

491. Considérons encore l’équation du 4 e degré,

[ 3 ] x i -\-ax*-\-bx + c = o;

et, laissant de côté les différens systèmes de lignes auxquelles onpeut recourir, déterminons-en les racines par les intersectionsd’une parabole et d’un cercle. A cet effet, prenons les équationsky—x\ (x—«y + (y — ey = Vi\

En éliminant y , il vient

a: 4 -}- 4 (A — 2/3) a?’— 2k 2 ctx-\- (a 2 -f-6’—R*)Æ* =0.

Or, cette équation devient identique avèc [ 3 ] en posantk(k —2j3 )—a, 2k‘%=; — b, (a 2 -|-( 3 3 —R *)k , x=>c;