378 DEUXIÈME PARTIE,

on a donc ainsi trois équations entre les quatre quantités arbi-traires k, a, 1 3 , R; par conséquent on peut disposer de l’une deces quantités, et déterminer ensuite les trois autres. Alors onconnaîtra une parabole et un cercle dont les intersections aurontpour abscisses les racines réelles de l’équation [ 3 ].

Cette solution comprend comme cas particulier celle de l’équa-tion du troisième degré. En effet, par l’hypothèse c=o, l’équa-tion [ 3 ] devient x 4 -}- ax* -\-bx = o, ou bien x 3 + ax+b = o, enfaisant abstraction de la racine zéro. Alors la dernière des troisrelations ci-dessus donne R a = a 1 -)-/S 1 ; donc le cercle passe parl’origine : et comme la parabole y passe aussi, il est évident quec’est à cette intersection que correspond la racine inutiles=o,qui doit être supprimée.

C’est ici qu’il convient de placer quelques problèmes célèbres,qui ont beaucoup exercé les géomètres de l’antiquité, mais quine sont pour les modernes qu’un simple jeu d’analyse.

De quelques problèmes fameux chez les anciens.

492. Problème I. Trouver deux moyennes proportionnelles en-tre deux droites données.

Soient a et b les droites données, as et y les deux moyennesinconnues, on doit avoir

a : x : : x : y , x : y : : y : b ;et ces proportions donnent les équations[1] x* = ay , y 2 = bx,

qui déterminent deux parabobles. Elles sont représentées fig. 212,et les valeurs de as et y sont x — AP, y = PM. Cette constructiona été donnée par Ménechme , géomètre de l’école de Platon .

En multipliant les équations [1] membre à membre, et ôtantle facteur commun xy , il vient xy=ab, équation d’une hyper-bole entre ses asymptotes. On peut substituer cette courbe à l’unedes deux paraboles, et on obtient ainsi la construction représen-tée fig. 2i3, laquelle a aussi été donnée par Ménechme .

On regarde ces deux solutions comme défectueuses en cequ’elles emploient deux sections coniques, tandis qu’une seule,combinée avec le cercle, peut suffire. En effet, si 011 ajoute les