DEUXIÈME PARTIE.

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Nous avons indiqué, n° 184 , Prob. Il , le moyen de décrire lacissoïde par un mouvement continu : ce perfectionnement de lasolution de Dioclès est dû à Newton. Descartes a aussi imaginéun instrument composé de plusieurs règles, à l’aide duquel onpeut construire des moyennes proportionnelles en tel nombrequ’on veut, entre deux lignes données : mais ce 11’est plus aujour-d’hui qu’un objet de pure curiosité.

4 g 3 . Problème II. Trouver un cube double d'un cube donné.Soit a le côté du cube donné , et x celui du cube cherché, ils’agit de construire l’équation

[a] x 3 = 2a 3 .

Or elle résulte de l’élimination de y entre les deux équationsa 2 y = x 3 et y = 2a, dont la première est facile à construire parpoints, et dont la seconde représente une droite parallèle à l’axedes abscisses ; par conséquent l’abscisse du point d’intersection,x = AP (fig. 2 j 6), donne le côté du cube inconnu.

On peut écrire l’équation [2] de cette manière, x 2 X 2 « 3 .Alorsonvoitqu’cllepculaussi résulter des deux équations x l =‘myet xy — a 2 ; donc la question peut se résoudre par l’intersectiond’une parabole et d’une hyperbole.

En introduisant la racine x = o , dont 011 ne tiendra aucuncompte dans la suite, l’équation [2] devient

X^ = ‘2Cl 3 X .

Or, en posant x 2 — ay , cette dernière se change en y 2 — aax ;donc le problème est encore résolu avec deux paraboles.

On peut ajouter les équations de ces deux paraboles, et il vienty'-\-x 1 = ay^-otax. On peut donc aussi se servir d’une para-bole et d’un cercle, et cette solution est la plus simple.

L’analogie de ce problème avec le précédent est frappante.C’est que le côté du cube double est égal à la première des deuxmoyennes proportionnelles entre a et 2 a. En effet, si on pose lesproportions

x 2 x 2 x 2

a:x::x: — et x: — ::—-:2a,a a a

on en déduit l’équation [2] x 3 = a« 3 ,