GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 379

équations [i], il vient if -\-x % = ay-\-bx; et si on construit cetteéquation sur des axes rectangulaires, on a un cercle dont l’inter-section avec l’une des deux paraboles détermine les deux moyen-nes x et y. Voyez la figure 214.

On peut également employer le cercle avec l’hyperbole : cettesolution était connue d’ Apollonius .

Solution de Dioclès . C’est pour résoudre le problème des deuxmoyennes proportionnelles que Dioclès avait imaginé la cissoïde.Soit (fig. 21 5 ) une cissoïde décrite au moyen d’un cercle quelcon-que ALB. D’après la construction de cette courbe, n° 184, Prob. I,on a AM = LD; donc les triangles AMP, LDR , sont égaux;donc on a AP = QB = LR, JIP = DR, AQ = BP, PN=QL.Cela posé, les propriétés des triangles rectangles donnent

AQ:QL::QL:QB, BR : LR :: LR: DR ;ou, à cause des lignes égales, *

BP:PN::PN:AP, PN : AP :: AP: MP;ou, ce qui est la même chose,

~ BP : PN : AP : MP.

Ainsi PN et AP seraient les deux moyennes demandées, si BP etMP étaient les lignes données a et b.

Déterminons d’abord le point M sur la cissoïde de sorte qu’onait BP : MP :: a : b. Pour cela, il suffit de prendre à angle droitBE = a , EF = b , et de tirer BF, qui rencontre la courbe au pointBP %b

cherché M. Alors a — —jjp— ; et en multipliant les termes dela progession ci-dessus par b , puis divisant par MP, il vient

..„,PNX*> APX* ,

*' MP ’ MP

Donc, pour les moyennes demandées, on aPN X* APX*

MP » y- MP •

c’est-à-dire qu’il ne s’agit plus que de construire deux quatrièmesproportionnelles, ce qui n’offre aucune difficulté.