GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 381

# 4q4- Problème III. Diviser un angle en trois parties égales.

Soit BAC (lift. 217 ) l'angle donné. Je décris l’arc BC du centreA avec un rayon quelconque, puis j’abaisse CD perpendiculaireà AB : on peut prendre AB pour unité et AD pour le cosinusde l’arc BC, et le problème sera résolu si je trouve cos JBC. Enposant cosBC = a, et cosjBC=.r, on a vu (33) que l’incon-nue x dépend de l’équation

[3] x 3 — %x —^ a —o.

Quoique plus compliquée que celle de la duplication du cube,elle se construit cependant par les mêmes courbes.

i° On peut la remplacer par les deux équations y=x 3 ,y = + '*+ \a, lesquelles représentent une droite et une courbeconstruites Jfig. a 18 .

2 ° On peut prendre les équations kxg — \x — | a = o,x’ = kg, k étant un paramètre arbitraire, et l’on a ainsi une hy-perbole et une parabole.

3° En multipliant l’équation [3] par x , elle devientx 4 — * x 2 — ç ax — o ;

et celle-ci peut résulter des deux équations y 2 — 3 y—\ ax = aet x 1 =y ; donc la question peut se résoudre par deux paraboles.Mais il faudrait avoir soin de rejeter la valeur x=o.

4° On peut ajouter ces deux dernières équations, et prendre lesystème x i = y, x^ + y* — \y — {ax — o, lequel indique uneparabole et un cercle.

Remarque. Outre l’arc BC , il en existe une infinité d’autresqui ont aussi a pour cosinus, et l’équation [3] doit donner le co-sinus du tiers de chacun d’eux. Or on sait (33) qu’il y en a troisdont les tiers ont des cosinus différons ; donc les trois racines del’équation [3] doivent être réelles et < i.

La fift. 218 a été tracée dans l’hypothèse de a=|. Les va-leurs de x, en négligeant la valeur zéro, sont x = OP,x= — OP',x = — OP" ; et il est facile de voir que la première est la seulequi convienne à la question. Maintenant, si on revient à lafig. 217 ,si on y suppose AD=| AB , si on y prend AE =OP, et qu’onmène EF perpendiculaire à AB ; l’arc BF sera le tiers de l’arcBC, et l’angle B AF sera le tiers de l’angle BAC.