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DEUXIÈME PARTIE.

Usage des courbes dans l’algcbre. ç

4 g 5 . Les lignes offrant un moyen facile de représenter et depeindre, pour ainsi dire, la continuité des grandeurs, peuventsouvent être employées avec le plus grand avantage dans les recher-ches de pure analyse : c’est ce que je me propose de montrer ici.

Soit f(x) = o une équation de la forme

+Ba;n»-i+Ca:»‘- 2 -i- etc.=o,

dans laquelle m est un nombre entier positif, et A, B, C,... desnombres quelconques donnés. Adoptons une certaine longueurpour unité, et considérons

y =/(*) •

comme l’équation d’une courbe. En faisant passer x par tousles étals de grandeur, l’ordonnée y n’a pour chaque abscisse,qu’une seule valeur, laquelle ne peut jamais être imaginaire. De làil suit : i 0 qu% la courbe s’étend indéfiniment vers les x positifs etvers les x négatifs ; 2 0 quelle a, entre deux quelconques de sespoints, un cours non interrompu ; 3 ° quelle ne peut point reve-nir sur elle-même, comme cela arrive fig. 219.

Supposons, ce qui est permis , les coordonnées perpendicu-laires entre elles, désignons par f'(x) le polynôme dérivé de f(x),et par a l’angle que la tangente à la courbe fait avec l’axe des æ :d’après la formule qui donne x n° 471, on aura

tanga=/'(x).

Par la nature du polynôme/' (x) , on ne peut avoir, pour unemême valeur de x, qu’une seule valeur de tang a. , et cette valeurne peut pas devenir infinie à moins que x ne soit infini ; donc lacourbe , en aucun de ses points ne peut présenter les formes in-diquées sur la fig. 220 en M et M'.

Mais rien n’empêche que certaines valeurs de x ne rendentf{x) = o : alors il y aurait des tangentes parallèles aux abscisses,comme cela arrive aux points N et N'.

496. Cela posé, admettons que deux abscisses, telles que APet AP’ (fig. 221) donnent des ordonnées de signes contraires, MPet M'P' : la courbe ne pourra point aller de M en M' sans ren-