384 DEUXIÈME PARTIE.
Déplus, comme la courbe, après avoir atteint le point R, nepasse pas de l’autre côté de l’axe Ax , les ordonnées très-voisinesde ce point, soit à droite, soit à gauche, doivent être de mêmesigne ; par conséquent, en prenant pour h des valeurs aussipetites qu’on voudra, positives et négatives , l’expression précé-dente doit conserver le même signe. Or, pour que cela soit,je vais prouver qu’on doit avoir f (a) = o. Ecrivons la valeur dey' comme il suit :
y'~h
[/'(«)
I .2
W"(a)
i . 2 . 3
etc. >.
Alors il est évident que si f(a) n’était pas zéro, on pourraitprendre h assez petit pour que la quantité comprise entre les ac-colades eût le signe dey (a), et que par suite y' changeât de signeen même temps qu eh; donc on a y(a)=o. Rien n’empêchemême que plusieurs autres des quantités /"(a) ,y"(a) ,... nesoient nulles aussi ; mais le raisonnement précédent montre qu’ilfaudra toujours que le plus petit exposant de k , dans les termesrestans, soit pair.
Pour fixer les idées, je supposerai qu’avec f{a) = o et/'(a)=o,on ait encore f" (a) = o et y" (a) = o ; et comme on démontreen algèbre que ces quatre conditions établissent l’existence dequatre racines égales à a dans l’équation f (a) = o, on voit clai-rement pourquoi l’on convient de regarder alors le point Rcomme représentant quatre intersections que des hypothèsesparticulières ont fait coïncider en une seule. Et remarquez bienqu’en ce point l’axe Ax est tangent à la courbe, puisqu’on atang « =/'(a) =o (4g5).
498 . La courbe peut quelquefois atteindre l’axe Ax, passer en-suite de l’autre côté de cet axe, et avoir cependant ce même axepour tangente (fig. 225). C’est ce qui arrive quand le nombre desquantités/'(a) qui deviennent nulles en même temps que
/(a) est pair. Alors le développement de y' commence à une puis-sance impaire de h : par suite, des valeurs de h de signes con-traires, mais très-petites, donnent pour y' des valeurs de signescontraires ; et cela prouve que, dans le voisinage du point R, lacourbe est située partie au-dessus, partie au-dessous de l’axe Ax.