GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 585

D’ailleurs cet axe est encore tangent, puisque/'(a) = o. Dans lescas dont il s’agit l’équation proposée f(x)=o a un nombre impairde racines égales à a, et pour cette raison on convient de regar-der le point de contact U comme résultant d’un nombre impaird’intersections qui se sont réduites à une seule.

11 serait facile de faire remarquer dès à présent différent ordresde contact entre la droite Ax et la courbe, selon l’ordre de lapuissance par laquelle commence le développement de y'. Maisces considérations appartiennent en propre au calcul différentiel,et ne doivent pas en être séparées.

499. Je placerai encore ici d’autres propositions assez impor-tantes , qui sont attribuées à Uolle , auteur d’un procédé, connusous le nom de Méthode des cascades , pour résoudre les équa-tions numériques.

Si on construit (fig. aaf>) le lieu de l’équation y =f(x) , il estévident qu’entre deux intersections consécutives de la courbe avecl’axe des x , il y a au moins un point, tel que M, dont l’ordonnéeMP est plus grande que celles qui la suivent ou qui la précèdentimmédiatement ; et je vais montrer qu’en ce point la tangente estparallèle aux abscisses. En effet, soit AP = a , faisons x = a -f- hdans f{x), et nommons 7/ l’ordonnée correspondante à a -f- h : onaura, comme dans le n° 497,

y '=/(«) 4

I .2

etc.

En donnant à h des valeurs positives ou négatives, mais toujourstrès-petites, on trouvera les ordonnées qui suivent ou qui précè-dent immédiatement MP : or, toutes ces ordonnées doivent êtremoindres que MP ou J\a) ; donc la quantité

hf(a)

fr/»

1.2

+- etc.,

qui est ajoutée iaf{a) dans tf , doit rester constamment négativepour toutes les valeurs très-petites de h, soit positives, soit néga-tives. D’après les raisonnemensdu numéro cité, cette condition nepeut pas être remplie à moins qu’on n’ait/'(a) =0 ; donc la tan-gente au point M est parallèle aux abscisses. Il est d’ailleurs pos-sible qu’il y ait, entre deux intersections consécutives de la courbe

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