DEUXIÈME PARTIE.

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avec l’axe Ax, plusieurs points pour lesquels la tangente soitparallèle à cet axe, comme cela arrive entre R" et H'" ; et il estévident que les abscisses de ces points doivent toujours être ra-cines de l'équation i / r (x) = o.

Donc, lorsque l’équation f(x) — o ne renferme point de racineségales, si on forme une suite décroissante composée i 0 de la limitesupérieure des racines positives de celte équation , 2° des racinesréelles de la dérivée f’(x) = o, 3 ° de la limite supérieure des racinesnégatives de la proposée ; chaque racine réelle de la proposée seracomprise entre deux termes consécutifs de cette suite.

De là on tire immédiatement cette conséquence, qui se déduitaussi de la figure, savoir : que.le nombre des racines réelles de l’é-quation proposée ne peut pas surpasser de plus d’une unité le nom-bre des racines réelles de la dérivée. Et même on peut dire que lenombre des racines réelles qui , dans la proposée , sont affectéesd’un certain signe, + ou —, ne peut jamais surpassa• de plusd’une unité le nombre des racines de même signe qui se trouventdans la dérivée.

Il est bien entendu que les racines réelles de chaque signe peu-vent être moins nombreuses dans la proposée que dans la dérivée.

5 oo. Je vais faire voir maintenant comment la Géométrie indi-que des méthodes pour approcher des racines des équations.

Reprenons l’équation

Ax ” 1 -f- B,x m — 1 + 1 + etc. = o,

dont j'ai désigné le premier membre pary(x) : je suppose qu’onconnaisse une racine avec un certain degré d’approximation ; etil s’agit d’en obtenir une valeur plus approchée.

Soit MM’ (fig. 227) la courbe dont l’équation est y =f{x) , etsoit AR la racine dont on a déjà une première approximationp=AP. Menons l’ordonnée MP, la tangente MP’, et calculonsla sous-tangente PP’. On a tang MP’x =/{p) , et par suite

PP':

MP

A?)

/'(p)

tang MP'P

en ajoutant cette valeur à p, on obtient une nouvelle valeurapprochée p' = AP'.