DEUXIÈME PARTIE.

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Désignons par x', y', et x", y”, les coordonnées des points oùl’ellipse est touchée par les côtés de l’angle droit : elles doiventsatisfaire à l’équation [ej ; on a donc

[i] a 2 y' 2 + b 2 x' 2 =a 2 b 2 , [ 2 ] a 2 y" 2 + b 2 x" 2 = a 2 b 2 .

Soient x et y les coordonnées du sommet de l’angle, elles doi-vent satisfaire aux équations des tangentes : on a donc aussi (3 19 )

[3] a 2 yy' -f- b 2 xx' = a 2 b 2 , [4] a r ‘yy"-\-b*xx"= a 2 b 2 .

Enfin, les deux tangentes devant faire entre elles un angle droit,et les tangentes trigonométriques des angles qu’elles font avecb*x' b 2 x’’

l’axe des x étant-—, et-, on a encore

a 1 y a 1 y v w

[5]

Wx'x" ,

~t~th - f - 1 = o .ahjy

On a ainsi cinq équations pour exprimer toutes les conditions duproblème. Elles renferment six variables ,x,y,x',y', x ", y” ; et,pour avoir la courbe cherchée, il faut éliminer, entre ces cinqéquations, les quatre quantités x’, y’, x”, y".

On élimine d’abord y' entre [ 1 ] et [3], et il vient

, ia 2 b 2 x ,, a* (b 2 — y 2 )

x 2 -—;— x A -^— r ~, — = 0 .

a 2 iy 2 -\-b 2 x x a 2 y 2 -\-b 2 x 2

Si on élimine y" entre [ 2 ] et [4], il est évident qu’on trouvera enx" une équation toute semblable à la précédente. Cela prouveque x' et x " sont les deux racines de cette équation. Or, le dernierterme doit être égal au produit des deux racines; donc on a

x 'x" = <l ' .

a 2 y 2 -\- b 2 x 2 '

En commençant le calcul par l’élimination de x', on trouveraitde la même manière

, „ b^a'—x 2 )

yy =^r+b^-

Mettons ces valeurs dans l’équation [5], et il vient, pour la courbedemandée,

y 2 -$-x 2 = a x -\-b