DEUXIÈME PARTIE.

398

Prenons les deux lignes 0 .x et Oy pour axes des coordonnées,

et faisons OA = a , OB = b. D’après ce qui précède, on aura

. „ na „„ (ni — n)a „ nb . c

AP= —, OP== i --—, 00 = — ; et par suite on trouve fo-in m m r

cilement, pour l’équation de PQ ,

[i] m(m — n) ay -\-mnbx = n (ni — n)ab.

En changeant ncnn+i, cette équation devient celle de laligne P'Q' : savoir,

[a] m(m — n — i)ay -\-m(n-\- i) bx = (n-\-i) (m — n —i) ab.

C’est entre [i] et [a] qu’il faut éliminer n. Pour faire ce calcul

avec facilité, on retranche d’abord [2] de [1], ce qui donne

maij — mbx = (in — m-\-i)ab;

, . rn iaii — bx) 4 -(m — 1) ab

de la on tire n=—— -- - —,

2 ab

— m(ay — bx) 4 -(m+ i)ab

et par suite m —n =- '—Z - '-r~± —■——.

1 2 ab

En substituant ces valeurs dans [1], on trouve pour résultat

(ay — bx — ab ) 1 —4 ab 2 x (——- = o.

Cette équation donne la courbe qui contient les sommets du poly-gone MM'M’... Pour passer à la courbe cherchée, il laut fairem =00 , et il vient

(ay — bx — ab ) 1 — 4 ab 2 x = o.

Cette équation représente une parabole. La courbe doit passeren A et B, et avoir pour tangentes OA et OB : en effet, l’équa-tion donne pour x deux valeurs égales à a , quand on fait y=o :et pour y deux valeurs égales à b, quand on fait a; = 0.

Connaissant deux points de la parabole, et les tangentes en cespoints, on construit facilement lesélémens de cette courbe ( 5 10).Si on veut les trouver par le calcul, on cherchera deux axes rec-tangulaires qui réduisent l’équation de la parabole à la formey 1 = 2 px : c’est une simple transformation de coordonnées.

5 14. Je proposerai encore les énoncés suivans. Le lecteur estprié de tracer lui-même les figures.