GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 399

I. Théorème. Si on prend les cercles d’une sphère pour basesde différens cônes, et l’extrémité d’un rayon pour sommet com-mun de ces cônes , tout plan perpendiculaire à ce rayon couperales cônes suivant des cercles.

II. Théorème. Le rectangle fait sur les parties d’une tangenteà l’ellipse ou à l’hyperbole, comprises entre le point de contactet deux diamètres conjugués, est égal au carré du demi-diamètreparallèle à cette tangente.

III. Théorème. Ayant tiré une sécante quelconque par deuxpoints A et B d’une ligne du second Ordre, menez dans cette ligneune suite de cordes parallèles qui coupent la sécante : le rectangledes deux segmens de chacune des cordes sera au rectangle dessegmens correspondans de la sécante, dans un rapport constant.

IV. Théorème. Lorsqu’une droite de longueur constante semeut de manière que ses extrémités soient toujours sur les deuxcôtés d’un angle donné, on sait (512) qu!un point marqué à vo-lonté sur cette droite décrit une ellipse. Considérez cette droitedans une quelconque de ses positions ; élevez alors, par scs deuxextrémités, des perpendiculaires aux deux côtés de l’angle donné;puis, menez par le point décrivant une normale à la courbe qu’iltrace ; il arrivera toujours que celte normale et les deux perpen-diculaires iront se rencontrer au même point.

Aux droites qui dirigent le mouvement de la droite mobile,substituez deux polygones ; puis, à ces polygones, substituez deuxcourbes : il est clair que la proposition subsiste encore, pourvuqu’on prenne, au lieu des perpendiculaires élevées sur les droitesdirectrices, les normales aux courbes qui les remplacent.

Ce théorème et le suivant sont dus à M. Chasles.

V. Théorème. Si on a deux lignes concentriques du secondordre, la somme des carrés de trois diamètres conjugués quelcon-ques de la première, divisés respectivement par les carrés destrois diamètres de la seconde compris sur les directions de cestrois diamètres conjugués, est constante.

En prenant une circonférence pour la seconde courbe, 011 re-trouve une proposition connue (35o, 400).

VL Problème. Un point O étant donné dans le plan d’une sec-tion conique AMM'A', menez, par ce point, des sécantes, telles