GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 407
( fig. 6) un triangle dont un côté BC est situé dans le plan de projectionUV : abaissez AA' perpendiculaire sur ce plan, et A'BC sera la projectiondu triangle. Menez A'H perpendiculaire sur BC, et tirez AH. La ligueAH est aussi perpendiculaire sur BC, et par conséquent l’angle AHA'mesure l’inclinaison du plan ABC sur le plan CV s nous désignerons cet
angle par 9.
Cela posé, les deux triangles A'BC et ABC ayant même base, sont entre
eux : : A'H : AH. Mais le triangle AA'H étant rectangle, ce rapport
. A'BC ,, ,
= cos 9; donc = cos p , d ou
A'BC = ABC X cos 9.
Quelle que soit la position du triangle ABC (fig. 7), on peut toujourssupposer que le plan de projection TJV passe par l'un des sommets B.Soit A'BC'la projection du triangle ABC, prolongez AC jusqu’à sonintersection D avec le plan IJ V : le point p sera sur la ligne A'C', et lestriangles A'BD, C'BD, seront les projections de ABD etCBI). D’après,cequi précède, on a donc A'BD = ABD X cos 9 , C'BD = CBD X vos P> etpar conséquent, en prenant la différence,
A'BC' = ABC X cos ?■
On passe de là au cas d’un polygone en décomposant ce polygone entriangles. Si on nomme T, T', T",... ces triangles, et t, t', l",... leursprojections, on a i = T cosp, t' = T' cos 9 ; donc, en ajoutant,
t +i' + t» + ...=(T + T' + T w +...) cos*.
Or, la somme T + T' + T* + ... est égale au polygone, et la sommeest égale à sa projection; donc, si on désigne ces deuxsurfaces par A et a , on aura
[12] <z = Acosp.
Ce résultat s’applique aussi à une aire plane terminée par des lignescourbes; car ces lignes peuvent être considérées comme des polygonesd’une infinité de côtés. Donc, en général, la projection d’une aire planesur un plan , est égale au produit de cette aire par le cosinus de Vangle desdeux plans .
5 a 8 . La relation précédente e3t la môme qu’entre une droite et sa pro-jection sur un axe ( 5 i 5 ); et, d’un autre côté, on démontre facilementpar la géométrie que deux droites perpendiculaires à deux plans fontentre elles un angle égal à celui des plans : de là résulte la conséquencequi suit. Différentes aires A, A', A w ,... étant situées dans des plans quel-conques, si on élève des perpendiculaires à ces plans, si on prend surclics des parties 1,1', proportionnelles aux aires A , A', A",..., et sion projette en meme temps toutes, ces aires sur un plan, et toutes cesdroites sur un axe perpendiculaire à ce plan, les projections linéaires au-ront entre elles les mêmes rapports que les projections superficielles.
529. Dès-lors une autre conséquence bien remarquable se piéscute en-core. C’est que les recherches relatives aux projections des aires planes