■ 4<)8 TROISIÈME PARTIE.

peuvent se ramènera des recherches tout-à-fait semblables dans lesquelleson substituera, aux aires et à leurs projections, des droites qui leur soientperpendiculaires et proportionnelles.

Ainsi, qu'on veuille connaître le plan sur lequel la somme des projec-tions de plusieurs aires est un maximum ; je formerai une portion de po-lygone dont les côtés soient respectivement proportionnels et perpendicu-laires à ces aires. La droite qui ferme le polygone, et que nous avonsnommee la résultante, étant l’axe sur lequel la somme des projections descôtes du polygone est un maximum (5i8), on conclut que le plan perpen-diculaire à cette ligne est celui sur lequel les projections superficiellesont une somme maximum. A quoi il faut ajouter que ce maximum a lemême rapport avec chaque aire, que la ligne résultante avec le côté per-pendiculaire à cette aire. Cette remarque suffit pour déterminer la sommemaximum des projections des aires, somme qu’on pourrait aussi appeleraire résultante.

Tout ce qui a été dit des projections linéaires se transporte sans aucunedifficulté aux projections superficielles. Je me bornerai ici à énoncer lapropriété qui est analogue à celle du n° 5aa, savoir : que, pour projeterune aire plane sur un plan donné , on peut la projeter d’abord sur troisplans rectangulaires , projeter ensuite les trois projections sur le plan donné ,puis faire la somme des trois nouvelles projections .

53o. Le principe du n° 5i^ a aussi son analogue dans les polyèdres. Onentend ici par polyèdre un assemblage de faces planes qui renfermententre elles un espace limité en tous sens ; et le principe dont il s'agits'énonce ainsi : Dans tout polyèdre , la somme des projections des différentesfaces , sur un plan quelconque, est égale a zéro .

Cet énoncé exige évidemment que certaines projections soient prisesnégativement; et il faut d’abord expliquer comment les signes doiventêtre distribués.

Supposons que les projections de plusieurs faces consécutives soient(fig. 8) ABCD, ABEFG, AGHI,,.., on peut prendre l'une d'elles avec lesigne qu'on veut : convenons de donner à ABCD le signe -f-. Pour avoircelui de la projection ABEFG qui suit immédiatement, il faut observersi à partir du côté AB, par lequel elle touche la première, elle est endehors d’elle ou en dedans : c’est le premier cas qui a lieu, et alors on luidonne aussi le signe -j-. La projection de.la troisième face est AGHI : àpartir du côté AG, elle est en recouvrement sur la précédente, et parcette raison elle aura un signe contraire. On continue ainsi de comparerla projection de chaque face à la projection qui la précède immédiate-ment , et avec laquelle elle a un côté commun ; et on l’afTecte du mêmesigne ou du signe contraire, suivant qu’elle s'applique au-delà ou en deçàdu côté commun.

Cette règle étant bien comprise, imaginons que les faces d'un polyèdreconvexe, semblable à ceux de la géométrie élémentaire, soient projetéessur un plan quelconque. Il est facile de voir que chaque partie de l’espacequi renferme ces projections doit être considérée comme contenant deuxprojections égales et de signes opposés, de telle sorte qué si on ajoute,avec les signes qui leur conviennent, les projections de toutes les faces, le