GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 409

résultat sera zéro. Quand le polyèdre a des angles rentrans, comme il doitêtre fermé de tous côtés, il faudra que chaque portion de l’aire couvertepar les projections contienne un nombre pair de projections, égales deuxà deux et de signes contraires j par conséquent la somme des projectionsde toutes les faces est encore zéro.

La figure 9 représente, pour les polygones, un cas analogue à celui dontje viens de parler. On y voit que la portion pq , de l’axe de projection OX,est couverte par quatre projections, égales deux à deux, et de signes op-posés , savoir : celles de ab , cd , et celles de ef f gh. Enfin, l’esprit doitaller ici plus loin que le texte de l’explication, et apercevoir clairementque, d'après la nature des polyèdres fermés, il arrivera toujours que lasomme des projections des faces soit égale a zéro. *

53 i. Désignons par A, A’, A",... les faces successives d’un polyèdrefermé ; menons une suite de droites consécutives L , L', L",.*. perpendi-culaires et proportionnelles à ces faces, et ayons soin de fe diriger demanière qu’elles comprennent entre elles des angles égaux aux inclinaisonsdes faces les unes sur les autres. Alors je dis que ces droites formeront unpolygone fermé.

Supposons qu’il en soit autrement, et nommons X le côté qui ferme lepolygone. Projetons tout le polygone sur un axe quelconque, et le po-lyèdre sur un plan perpendiculaire à cet axe : les faces A, A', A",... ferontavec ce plantes mêmes angles que les droites proportionnelles L, L', L",...avec l’axe j et comme la somme des projections superficielles des facesdoit être nulle, celle des projections linéaires de ces droites sera aussinulle. Mais, dans le polygone fermé par le côté X, la somme des projec-tions linéaires deX, L, I/,L",... est nulle ( 5 19) ; donc la projection de Xest nulle. Cette conséquence a lieu , quel que soit l’axe de projection, cequi est impossible à moins qu’on n’ait X=oj donc les lignes L, L', L",...déterminent un polygone fermé.

Cette proposition est importante ; car elle montre que toutes les rela-tions entre les côtés et les angles d’un polygone peuvent aussi s’appliqueraux polyèdres.

53 a. Considérons en particulier une pyramide triangulaire, dont je dé-signerai les faces par A, A', A", A'" ; et soit ABCD (fig. 10) le quadri-latère correspondant, dont les côtés AB , BC, CD, DA, sont perpendicu-laires et proportionnels à ces faces. Ces côtés ne peuvent pas être dans unmême plan ; car, si cela était, ce plan serait perpendiculaire à toutes le 3faces, et par conséquent à toutes les arêtes de la pyramide.

De In il suit qu'en achevant le parallélogramme ABCE, et en tirant leslignes BF, AG, EH, égales et parallèles à CD, on formera un parallélî-pipède 5 et par conséquent la formule [11] du n° 5 a 5 doit avoir lieu entreAB, AE , AG , AD, et les angles BAE, BAG, GAE. Ces angles sont sup-plémens de ABC, ECD, BCD ; et ceux-ci sont égaux aux inclinaisons deA sur A', de A sur A", de A' sur A". Désignons donc ces inclinaisons par

, et', a." • on pourra remplacer, dans la formule citée, les angles par180 0 — *, i8o° — af , i8o° ■—a", et les lignes par les aires A, A 1 , A", A Ufauxquelles les longueurs AB, AE, AG, AD, sont proportionnelles. De