GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 4l l

partent du point M et qui sont parallèles aux axes, soit encore les distancesOP, PM', M'M, qui composent la ligne brise'e OPM'M menée entre lepoint M et l’origine.

535. D’après ce qui pre'cède, si on désigne par a, b , c, trois longueurs,positives ou négatives, et qu’on donne x =za, y ~ b, z = c, ces valeursdétermineront complètement la position d'un point.

Si l’une des coordonnées est nulle, le point est sur le plan des deuxautres. Par exemple, si on a x=za, y~b f z = o, il est dans le plan dexy. Lorsque deux coordonnées sont nulles, le point est sur l’axe de latroisième. Ainsi, en prenant x = æ ,y = o, z=o, il sera sur la ligne desx . Enfin, le point est situé à l’origine, si on a en même temps x=:o,X —o , z — o.

536. Les points M', M w , M w/ , où les lignes menées du point M, parallè-lement aux axes, rencontrent les plans coordonnés, se nomment les pro-jections de ce point j et ces projections sont dites orthogonales ou obliques,selon qu’elles sont faites par des perpendiculaires ou par des obliques.

Les coordonnées du point M étant a, b , c , il est évident qu’on a

x = a f yzzzb, z = o, pour la projection M' sur le plan de xjr;x = a y yzzo y z = c, pour la projection M" sur le plan de xz;ar = o, y = 5, z=:c , pour la projection M"' sur le plan àejrz.

Quand on veut désigner l’une des projections, M', par exemple, on seborne quelquefois à énoncer les deux égalités a: = a, y —b ; mais alors latroisième, z = o, est sous-entendue, et on doit y avoir égard dans le rai-sonnement.

537 . Maintenant il faut expliquer comment on détermine les surfaces.Considérons une surface quelconque, et supposons qu’on ait pris arbitrai-rement deux coordonnées, par exemple, z=OP et r = PM' (fig. 11 ) îen menant la droite M'M parallèle à l’axe Oz, elle ira rencontrer la sur-face en un point M, ou en plusieurs qui seront entièrement déterminés.Il suit de là qu’il doit exister entre x , y, z, une relation telle que , deuxde ces lignes étant données, les valeurs de la troisième puissent s’en dé-duire. L’équation qui exprime cette relation se nomme Véqualion de lasurface ; et réciproquement la surface est le lieu de l'équation.

C’est ainsi qu’on est conduit à regarder une équation entre x y y, z,comme représentant une surface. Cette proposition peut d’ailleurs 6e dé-montrer comme il suit.

Soit F (x , y y z) = o l’équation dont il s’agit. Prenons (fig. 1 a) sur l’axedes z une distance quelconque 00' = c , et menons le plan x'O'j ' paral-lèle à xOy : il coupera les plans a O z et yOz suivant les droites O'x' et0 # r ', parallèles aux axes Ox et Oy. Parmi les points qui satisfont à l’équa-tion donnée F(x,y, z) = o, ne considérons que ceux qui sont contenusdans le plan a'O'y*', et soit M l’un quelconque de ces points. Si on mèneMIN parallèle à O y, et qu’on fasse O'N = a' et NM=y, les coordonnéesdu point M rapporté aux lignes O r x' et Oy seraient x' et y '. Les troiscoordonnées du même point M, rapporté aux trois axes Ox, Oy, Oz, sont

*==0']V=:a', r =Ml\=y, z = 00' = c.