412 TROISIEME PARTIE.

Or, ces quantités doivent vérifier l’équation F (x,y, z) = o; donc, si oneffectue les substitutions, l’équation résultante F (a:',y', c)=ro ne con-tiendra que les deux variables x f et y', et représentera une ligne rapportéeaux axes O'x' et O'y'. Ainsi, quel que soit le lieu de l’équationF (x, y y ^) = o, ce lieu est coupé suivant des lignes par des plans parallèlesau plan de xf. Cette propriété ne peut appartenir qu’à une surface ; doncune équation entre x, y, z, représente une surface.

Toutefois, comme il peut se faire que l’équation en x* et y ne repré-sente qu’un ou plusieurs points, et même qu’elle soit impossible, il arri-vera aussi, dans certains cas, que l’équation enz,/, z , donnera une ligneseulement, un ou plusieurs points séparés, ou même encore qu’elle seraimpossible.

538. Lorsque l’équation donnée ne renferme que deux des coordonnées,x et y, par exemple, elle représente un cylindre parallèle à l’axe des z. Eneffet, si on ne considère d’abord que les points du plan de xy, cette équa-tion détermine en général, sur ce plan, une ligne AB (lig. i3). Si en-suite , par chaque point M de cette ligne, on mène une droite MM' paral-lèle aux z , il est clair que les valeurs de x et dey seront, pour tous lespoints de cette droite, les mêmes que pour le point M. Il n’y aura de dif ■férence que dans la troisième coordonnée z; et comme z n’entre pas dansl’équation donnée, il s’ensuit que tous les points de MM' satisfont égale-ment à cette équation; c’est-à-dire, en d’autres termes, que cette équa-tion détermine un cylindre parallèle à l’axe des t. La dénomination decylindre est prise ici dans le sens le plus étendu, et désigne toute surfaceengendrée par une droite qui se meut parallèlement à elle-même.

539 . Quand une équation ne contient qu’une seule coordonnée, on entire pour cette coordonnée des valeurs constantes, et chacune de ces va-leurs, si elle est réelle, détermine un plan parallèle à celui des deux autrescoordonnées. En effet, si z = c est une de ces valeurs, et si on mène,parallèlement au plan de xy, un plan qui rencontre l’axe des z à une dis-tance c de l’origine, au-dessus ou au-dessous suivant le signe de c, il estclair que pour tous les points de ce plan z est égal à c, et que pour lespoints situés hors de ce plan z est différent de c.

Il suit de là que les égalités x=a,y = £>, z=zc , prises séparément,représentent trois plans parallèles à ceux des coordonnées; donc, étantprises ensemble, elles déterminent le point d’intersection des trois plans.Ce point est précisément celui qui a pour coordonnées a , b , c; et, pourcette raison, on dit que x = a, y~b, r=c, sont les équations de cepoint.

5.{o. Enfin, parlons des lignes. La manière la plus simple de déterminerune ligne dans l’espace, consiste à la considérer comme l’intersection dedeux surfaces. Ainsi, une droite sera donnée par l’intersection de deuxplans ; et un cercle le sera par celle d’une sphère et d’un plan, ou encorepar celle de deux sphères. Les équations de deux surfaces, qui con-tiennent une ligne, se nomment, prises conjointement, les équations decette ligne.

Comme il existe une infinité de surfaces différentes qui passent par unemême ligne, il y a aussi une infinité d’équations qui peuvent, prises deux