GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 415

3° Dans le cas plus particulier encore, où l’on suppose en même tempsA = o et B = o, l’équation [A] devient

Cz -j- D = o.

Alors les traces AB et AC sont respectivement parallèles à Ox et à Oy,et le plan BAC est parallèle à lO/ : conclusion d’ailleurs évidente,puisque l’équation donne, par tous les points du plan, une valeur

constante de z, savoir z rr—5. Il résulte de là que l’équation du pre-mier degré qui ne contient qu'une coordonnée représente un planparallèle à celui des deux autres coordonnées.

5{5. Il ne suffit pas d’avoir reconnu que l’équation du premier degréreprésente toujours un plan, il faut encore démontrer qu’elle peut donnertous les plans possibles.

D’abord , quand l’équation contient la variable z, on a trouvé pour lestraces du plan, sur les plans de xz et de^oz,

A D „

•c*-c’ et * =

B D

-c-^-c-

Ces deux traces coupent Taxe des z à la distance-, et en faisant

varier D on peut faire passer ces traces par tel point de Taxe des z qu'onvoudra. Si ensuite on fait varier A et B, on pourra aussi faire prendreà ces traces telles directions qu’on voudra ; donc l’équation [A] peutdonner tous les plans qui rencontrent la ligne des z.

Fn second lieu, si C est zéro, l’équation [A] devient Aàr-f-Bj'-J-D^:o.Alors elle représente un plan qui est parallèle aux z, et dont la trace ,sur le plan de xy, a aussi pour équation A.r-[-Bv*-J-D:=o. Or, cetteéquation peut donner toutes les droites qu'il est possible de tracer dansle plan de xy ; donc aussi l’équation [A] peut représenter tous les plansparallèles aux z.

Donc, enfin, il n’est aucun plan qui ne soit donné par une équationdu premier degré.

546. L'équation du plan est employée sous diverses formes. Remar-quons d'abord que l’équation [A] pouvant toujours être divisée par lecoeflicicnt de l'un de scs termes, il n'y a réellement que trois indéter-minées dont on puisse disposer pour assujettir le plan à des conditionsdonnées. Par exemple, si l'équation contient z, on peut la diviser par C,et l'écrire ainsi :

*=f x +sr+ h -

Mais cette forme ne convient plus aux plans qui sont parallèles à Taxedes*; et, pour cette raison, on préfère souvent se servir de l’équation[A], qui a d’ailleurs l’avantage de conduire à des formules plus symé-triques.

547. Lorsqu'un plan rencontre les trois axes, son équation prend uneforme très-élégante si on y introduit les distances OA, OR, OC (fig. 16),de i’origÎDe aux trois points d’intersection de ces axes avec le plan. Cesdistances se déduisent facilement de l’équation [A]. Par exemple, pour