414 TROISIEME PARTIE.

Cette équation donne la trace AB (fig. 1 5) de la surface, sur le plan dei»; donc cette trace est une ligne droite.

Je fais ensuite x = o : l’équation [A] donne

B r + Cl + D = °. ou *=—

donc, sur le plan de yz t la surface a encore, pour trace, une droiteAC, qui rencontre Taxe des z au même point A que l’autre trace.

Maintenant, menons à volonté un plan parallèle à celui de xz : suppo-sons qu’il rencontre l’axe O y à la distance 00'=/Ê, et les deux plansyOx , yOz y suivant les lignes O'x', OV, parallèles à Ox et à Or. SoitM un point quelconque de l’intersection de ce plan avec la surface del'équation [A]; rapportons ce point aux deux axes O'x' et OV, et dési-gnons par x' et z ' ses coordonnées O'P et PM, comptés sur ces axes,tandis que nous continuerons de nommer x , y t z t ses trois coordonnéesO'P, 00', PM , relatives aux axes Ox, Oy , Or. Il est évident qu’on doitavoir xrzx', j-'=/S, z — z': d’ailleurs ces valeurs doivent satisfaire àl'équation [A] j donc on a

A* , + B,ê+C* , + D = o, ou

Ci L

Cette équation, entre x' et z! , est celle de l’intersection A'B' de la surfacepar le plan z'O'x' ; et comme elle est du premier degré, il s’ensuit quecette intersection est une ligne droite. De plus, le coefficient de x' étantle même que celui de x dans l’équation de la trace AB , on conclut queA'B' fait avec O 'z' le même angle que AB avec Or. Or, le plan, conduitpar les deux tracos AB et AC serait coupé par z'O'x’ suivant une droitequi passerait au point A', et qui ferait aussi ce même angle avec O'z' •donc elle ne serait pas différente de A'B'. Ainsi, la surface de l’équation[A] est rencontrée par tous les plans parallèles à zOx suivant des droitesentièrement comprises dans le plan BAC; par conséquent, cette surfacen’est autre que ce plan lui-même.

544- Cas particuliers. L’équalion [A] peut n’avoir point tous ses termes,et alors le plan qu’elle détermine prend une position particulière parrapport aux axes.

1 “ Soit D = o : l’équation [A] devient

Ax-^-Bj-^-Cï=o.

Le plan passe par l’origine ; car cette équation est satisfaite par les va-leurs x—a, y— o , 1 = 0 .a° Soit A=o : l’équation du plan se réduit à

B r -f C= + D = o.

Alors la trace du plan, sur le plan de xz, est parallèle à l’axe des x;

car, en faisant^=o, on trouve, pour cette trace, z =—Donc le plan

est lui-même parallèle à l’axe des x : c’est-à-dire, en général, que l’équa-tion du premier degré, qui ne contient que deux coordonnées, représenteun plan parallèle à l’axe de la troisième coordonnée.