420 TROISIÈME PARTIE.

Telle est la relation qui doit exister pour que les deux droites se coupent.Quand elle a lieu, le point d’intersection est détermine' par les formules[5] et [6].

Lorsque les droites sont parallèles, on a a'=a etS'=i (555). Alorsl’e'quation de condition est vérifiée, et les valeurs de x, y , z , sont in-finies.

55-. Problème IY. Faire passer un plan par trois points donnés .Représentons par x', y*, 2 '; x", y", z"; x 1 ", y"', z les coordonnéesdes trois points : et soit[ 1 ] Aar +B r - + C 2 = D

l’équation du plan cherché. Pour que ce plan passe par les trois points,il faut que son équation soit satisfaite par les coordonnées de chacun-d’eux; donc on doit avoir

A^+By + C/^D, A*" + B r " + Cz":=D, Aar'"+B/"' + Cz'" = D.

En divisant ces équations par D , les inconnues qu’elles contiendront se-ront les rapports de A, B, C, à D ; et elles feront connaître les valeursde ces rapports. Désignons ces valeurs par A 1 , W, C', on auraA = A'D, B = B'D, C = (7D;

et par suite l’équation [ 1 ] devient, après substitution et simplification,A’ar By-j- C'z = 1 .

558. Problème V. Par un point donné , mener un plan parallèle a unplan donné.

Soit [ 1 ] Aar-|-B/'-f-Cz-4-D = o

l’équation d’un plan donné ; et[a] A / r-(-B' r +C , s+B' = o,

celle d’un plan parallèle.

En général, les intersections de deux plans parallèles par un troisièmesont parallèles entre elles; par conséquent les traces des deux plans surle plan de xz doivent être parallèles, et leurs traces sur le plan de yzdoivent aussi être parallèles. Les équations de ces traces sont

Ax-|-Cz-}-D = o, A'ar-f-C'z-l-D'rzio, sur le plan dearz;

By -|-Cz-j-D=o, By-j-C , z-|-D' = o, sur le plan d eyz;

et, pour que les deux premières soient parallèles entre elles, et les deuxdernières parallèles entre elles, on doit avoir

A' AB' B , . A' B' C'

(7 - TI’ C' — C ’ ° U bien A — B - C

Quand les plans rencontrent l’axe des z, ces conditions suffisent pourqu’ils soient parallèles; car alors les traces du premier plan se coupentsur l’axe des z , et sont parallèles à celles du second plan , lesquelles secoupent aussi sur cet axe. Or, quand deux angles ont leurs côtés paral-lèles, on sait que leurs plans sont parallèles.

Mais si les deux plans sont parallèles à l’axe des z, ce qui revient à sup-