4-26 TROISIÈME PARTIE.

Les équations de la perpendiculaire demandée seront de la forme[ 2 ] x—x'—a(z — z'), {jr—y)=zb(z — z') t

a et b étant deux inconnues. Les traces du plan donne', sur les plans dea -z et d eyz, ont pour équations

CD CD

X = -Â z -Â’ ^ =

Mais on vient de démontrer que ces traces doivent être perpendiculairesaux projections de la droite cherchée; donc on a

De là on tire

[3]

ou A = aC, B = bC.

En mettant les valeurs de a et b dans les équations [ 2 ] , il vient, pourla perpendiculaire, les équations

[4]

y=®(,_aé).

x — x'=z-^{z—z'), j —j _ c -,

Pour avoir les coordonnées du pied de cette perpendiculaire, il suffitde résoudre les équations [i] et [4] par rapport à x t jr 9 z ; et ensuite, pourconnaître la grandeur de la perpendiculaire, il faudrait substituer lesvaleurs de ces coordonnées dans la formule

[5] l/(* —*')’ + (/—./)’ + (* — *')’•

Maisil sera plus simple de chercher immédiatement les différences x — x',y — y, z — z'. A cet effet, on écrit d’abord l’équation [i] sous la formeA(x—x t ) + B( y—y) + C(z— z') + Ax'+ B/+ Cz'-j- D = o,ou mieux, en faisant Ax'-|- Cz'-j-D = D', sous celle-ci :

A(x— x') -f- B (y —/) + C(z — z') + D'= o.

On substitue dans cette équation, au lieu de x — x' et de y—Y , lesvaleurs [4], et l’on a une équation qui fait connaître z — z 7 . On calculeensuite x — x' et y — y'- De cette manière, on trouve

AD' — BD' , — CD'

r—y-

5 - z'—-.

■ A’-j-B’-j-C” ' J ~~ A’ + B’ + C 1 ’ * * A a -j- B*-j- C*‘

Par suite , en désignant la perpendiculaire par P, la formule [5] donnep __IT___ A.r'-f B r'-f Cz'+ D

— j/Â' + B'+C 7- l/A* + B*+C*

Comme la valeur de P doit être essentiellement positive , il faut toujoursprendre le numérateur, abstraction faite de son signe.

Si le point donné est placé à l’origine, il faut faire x'=o, o,z'= o. Alors on a

D

P =

^/A’+IP + C’