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TROISIÈME PARTIE.
Si on voulait connaître les projections de la perpendiculaire, on lesdéduirait facilement des équations [i] et [a]. Mais on les trouve aussi enobservant qu’on connaît deux points de cette ligne, savoir : le pointdonné et le pied de la perpendiculaire, lesquels ont respectivement pourcoordonnées
x', y*, z r y et n t an-^et , bn-{-0.
Par suite les équations des projections cherchées seront
y-f-
z! — n
y J — & — bn
z? — n
(*—*')>(e — z' ).
56q. Problème XIV- Connaissant les équations de deux droites, onveut trouver : i° les équations de la droite sur laquelle se mesure leurplus courte distance ; 2 0 Vexpression de cette plus courte distance .
Soient (fig. 20 ) AB, CD, les deux droites données, et PQ leur pluscourte distance. D’abord la ligne PQ est droite : autrement, la droitequi joindrait les points P et Q serait plus courte. Ensuite, la ligne PQest perpendiculaire à AB et a CD : car si, par exemple, elle ne l’étaitpoint à CD, la perpendiculaire, abaissée du point P sur CD , serait pluscourte que PQ.
Puisque PQ est perpendiculaire à AB et à CD, il s’ensuit que si, parla droite AB, on mène un plan UV parallèle à CD, la ligne PQ seraperpendiculaire à ce plan; donc elle est située dans les deux plans ABRet CDS perpendiculaires à UV , conduits, l’un suivant AB, et l’autresuivant CD. La ligne PQ est donc l’intersection de ces plans, et seséquations sont celles de ces plans eux-mêmes.
Quant à la grandeur de PQ, elle est égale à la perpendiculaire abaisséed'un point quelconque de la droite CD sur le plan UV. Ainsi, la marchea suivre dans les calculs est entièrement tracée.
Soient
[<]
x=zaz- j-ct,y=:bz+0,
1 x = a'z + a',
I jr = V, + P,
les équations des deux droites données. Elles percent le plan de xy en despoints que je désignerai par T et T', et dont les coordonnées sont
z — o,x~a.,y — ^, pour le point T ;z — o,x — a.',y — H', pour le point T'.
Cherchons d’abord l’équation du plan qui contient la première droite,et qui est parallèle à la seconde. Ce plan devant passer par le point T,son équation peut s’écrire ainsi :
[3] A(a — a)+B(y— £) + z = o,
A et B étant seuls inconnus. Pour que ce plan contienne la premièredroite, il faut que les valeurs [i] de x et dey satisfassent à l’équation [3] ,quelle que soit la coordonnée z, ce qui donne la condition
A/i+ 116+i=o.