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TROISIÈME PARTIE.

z=:o, x ~ y—P : alors la formule géne'rale qui exprime la distanced’un point à un plan (566) donne

4 / A"+b»+ i ’

et en y mettant les valeurs de A et B, il vient

p («'-«0(6-y)-Og'-l) (a- a')

\/Tür^ay+(b'—by~^{at>'—ba!/ ,

Telle est l’expression de la plus courte distance des deux droites.

Lorsque deux droites se rencontrent, la portion comprise entre cesdeux lignes, sur la perpendiculaire commune, est e'gale à zéro, donc on a

(*'-«) {b—V) - (fi—P) {a—a ')—o :

c'quation déjà trouvée (556), pour exprimer que deux droites se coupent.

570. Problème XV. Connaissant les équations d’une droite , déterminerles angles de celte droite avec les axes des coordonnées.

Par l’origine (fig. ai), menez la ligne OM parallèle à la droite donnée :il s’agit de déterminer les angles MOx, MO/, MOz, que je désigneraipar a., fl, y.

Prenez O M —. r, et abaissez sur les axes les perpendiculaires MP, MQ,MR : les distances OP, OQ, OR, prises avec les signes qui leur con-viennent, seront en même temps les coordonnées du point M et lescosinus des angles a , yS, y. Soient

x zzzaz, y — bz ,

les équations de la parallèle OM ; et soient x / , y', z!, les coordonnées dupoint M. Puisque le point M est sur cette ligne , et que OM est égale à1 , on a

x' — az', y'=:bz', x' , -\-y / * +z /ï = 1 ;

et ces équations feront connaître les valeurs de x', y J , z!, ou de cos a. ,cos y?, cos y. Ainsi s'obtiennent les formules

cos fi—

cos>=-

Vé'a’-J-à’ + i ’ ^ \/a a -j-t a 4-i ’ ' \/a* -)- b* + 1

La parallèle OM et son prolongement OM ' font avec les axes différonsangles; mais, comme nous avons pris la valeur de z' positivement, il enrésulte que ces formules donnent les angles qui sont formés, du côté descoordonnées positives, par la portion de la parallèle qui est située, rela-tivement au plan de xy, du môme côté que les z positifs.

571 . Problème XVI. Trouver l’angle de deux droites dont on connaîtles équations.

Si, par l’origine, on mène des parallèles aux deux droites, l’anglecompris entre ces parallèles est égal à l’angle cherché. Soient (Cg. aa)OM et OM ' ces deux parallèles, et soient

x~az, y — bz , les équations de la 1 " ;x — //, y — b'z, les équations de la a«.

Prenons, du côté des z positifs, OM — OM ' =: 1 ; et faisons l’angle in-