GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 431
connu MOM' = V. Le triangle MOM' donne
C09V — aOMxÔÂT — ' 5-'
En désignant par x', y', z!, les coordonnées du point M, et par x", r", z",celles du point M', on a
MM' '=(x' — x")'-\-(/ — y"y + (z' — * »)\
En de'veloppant les carrés, et observant que — 1 et que
x ,n -\-jr ln -\-z"*z=: i , on trouve
MM' * = a — a (x'x" + fy" + zV' ) ;
cos V — x'x 1 ' -f- z' z".
Maintenant il est facile d’obtenir x', y', z’, x”, y 1 ', z". En effet, àcause que le point M est sur la première parallèle, et que OM est égaleà i, on a
zaz', y'—hzf, -j-z'’ = i,
:, y=-r=L==^, *'=■
et par suite
d’où l’on lire
a' + b' + xOn trouve de même
'V/a’ + &’ +1 ’
//
Va'+P + t
-, y~-
'l/V’ + l/’ + I ' ' \Za'* + f/» + i’ V/ «'’ + t/’-fi
Par conséquent on aura cos Y en remplaçant a/, y 1 , etc., par ces valeurs,
ce qui donne
cos V = •
aa! -|- bb' t
\/a 3 -(-6 a + i y/a'' + b'*+i
Comme les valeurs de z' et de z" ont été prises positivement, il en ré-sulte que cette formule donne l'angle formé par les parties supérieuresdes parallèles aux droites données, lequel angle sera aigu ou obtus, selonle signe du numérateur aa f -\-bb' -j- i.
57 a. Si les deux droites données font un angle droit, cosY doit êtrezéro $ donc
aa? bb? -J- i o.
Il faut bien remarquer que cette condition n'emporte pas avec elle laconséquence que les droites données se rencontrent$ car elle exprime sim-plement que les parallèles à ces droites font un angle droit. C’est là, en effet,ce qu'on doit entendre, lorsqu’on dit que deux droites, situées dansl’espace, sont perpendiculaires entre elles.
Quand une perpendiculaire doit être abaissée sur une droite donnée,il faut joindre à l'équation précédente celle qui exprime que deuxdroites se coupent (556). On peut obtenir ainsi de nouvelles solutionspour les problèmes XIII et XIV.
573 . Si les droites sont parallèles, on doit avoir Vzz:o ou m8o°jdonc cos V z= i: 1 j donc
— 1 / a% + 1 \/u f *ü' 2 1 — au' -J- bb^-^ i.