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TROISIÈME PARTIE,
En élevant au carré et transposant, il vient
ta* — a) + (b' — by+ (ab' — ba'y = o.
A cette condition il en faut joindre une autre, qui est sous-entendue ,c’est que les quantités a, b f af , b', sont réelles. Alors les carrés quicomposent l’équation ci-dessus ne peuvent pas être négatifs, et leursomme ne devient nulle qu’en égalant chacun d’eux à zéro. De là résulte
a'zzLdy b' — b , ab'~ba'.
Ces conditions, dont la troisième est une conséquence des deux pre-mières , sont en effet celles qui expriment que des droites sont parallèles.
574. En faisant coïncider la ligne OM / successivement avec chacundes axes, la formule générale donnera les cosinus des augles et , 7,
formés par la droite OM avec les axes. Les équations de l’axe des x sont
donc , pour la confondre avec l’axe des x, il faut poser
1
Mais avant d’introduire ces hypothèses dans l’expression générale decos V, je la mettrai sous cette forme
+ b 7+
\/ a* -}-Z»* -}- 1 V
et alors, par les hypothèses ci-dessus, elle donne
a
cos et
«* b* -J- 1
On retrouve avec la même facilité les valeurs de cos $ et de cos y fsemblables à celles du problème XV.
575. Reprenons l’expression trouvée plus haut ( 5 yi ),
cos v = x'x" +yy + ,
et désignons par et , /S, y, et et ', y', les angles des droites OM et OM 'avec les axes. Puisqu’on a pris OM =r OM '= 1, il s’ensuit que x'n= cos «,
> y = . cos yg ^ cos e t c> . J onc
cos V =3 cos et cos a'-}- cos /S cos -|~ cos y cos y f :formule trouvée par une autre voie ( 5 a 3 ).
Comme on a d’ailleurs x' a +y /a -^-z' a = i et x' /a +y" a -}-z ,;a = 1, onretrouve encore ici les relations déjà connues ( 5 ao) %
cos a « cos a £-}- cos a y— 1 , cos a fit'-}- cos* £'-}- cos* y r “ 1.
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