•436 TROISIÈME PARTIE.

doit remplacer partout les lettres. A , B , C, par x, y, z. Pour abréger,nous poserons

cos( x'x)~a , cos( x'y) = a', cos( x'z) —a",cos (jr'x) = b , cos(y'y) ~ b', cos(y'z) — b",cos( z’x) = c , cos( z'y) = c' , cos( z!z) = c";

et les formules cherche'es seront

1 x = ax' by' -J- cz / ,

[3] }y = a'i'-\-b'y J -\-c'z',

I z = a"x'+b l y+c"z'.

Les trois angles qui servent à fixer la direction de chacun des nouveauxaxes ne sont pas entièrement arbitraires : d’après des relations connues(5ao, 5j5), on doit avoir

i a* a" a"’ = I ,

[«] i 1 + i ' ! ‘+ 6 "’ = I »

|c» + c'* + c"*=i.

586. Remarque. Si on résout les équations [3] par rapport à x', y’, d,on aura des formules propres au cas où l’on voudrait transformer des coor-données obliques en rectangulaires.

Ensuite, ces nouvelles formules, combinées avec les précédentes [3],pourront servir à passer des axes obliques à d’autres axes obliques. Ilsuffira , en effet, d’eflectuer deux transformations successives : la première,pour remplacer le système oblique par un système rectangulaire ; et laseconde, pour substituer à ce dernier un autre système oblique.

58y. Changement des axes rectangulaires en d’autres axes rectan-gulaires. On se servira des mêmes formules que dans le n° précédent,

I x = ax' -J- by' -j- cz',r — a'x'+b'y'+c'z',z=a l 'x'+b"y'+c"z'.

Mais il faut exprimer que les nouveaux axes sont aussi perpendiculairesentre eux : pour cela, on égale à zéro les expressions de cos {x'y J ) y cos(x'z'),cos(rV), en fonctions des cosinus a t b , c, etc. (5a3, 675 ). En réunissantces nouvelles équations de condition aux trois qu’on a déjà, il y en aurasix en tout, savoir :

a? a ,,i = ï , f ab a?b' -|- a tt b n = o,

[aj & a -J- b fi b ni ~ 1 , [&] J ac a! </ -{-* a H c a = o,

c 1 c /a c” a — 1 ; ( bc b'c f Wc 11 “ o.

Ces équations peuvent servir à trouver six des neuf cosinus a, a ', a ", b r „Je ferai connaître tout-à-l’heure de nouvelles relations qui se déduisentde celles-là, et qui sont d’un fréquent usage.

588. Remarquons d’abord que les deux systèmes d’axes étant rectangu-laires, il s’ensuit que x', y', z', doivent s’exprimer en x, y, z, par desformules analogues aux précédentes [4]. Et en effet, si on se rappelle quelscosinus sont désignés par a 9 a', a", b, b\ b" f c, </, c", et si on projette

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