GEOMETRIE ANALYTIQUE A, TROIS DIMENSIONS. 437

les trois coordonnées x, y, z, sur l’axe Ox', puis sur l’axe O y’, puis surl’axe O z', on obtient

( x 1 ax a! y + a " z >

y' = bx + Vy + b"z ,z' = ex -j- c'y + c " z ’

On peut encore trouver ces valeurs au moyen des équations [4]. Parexemple, pour avoir x', on les multiplie respectivement par a, a', a",puis on les ajoute; et, en ayant égard aux relations [a] et [6] , il vientx' — ax + a 'r + a l 'z. Oq obtient de la même manière y* et z'.

589. 11 doit exister aussi, entre les coefûciens de ces valeurs, six rela-tions analogues a celles qui ont lieu entre les coefficicns des valeurs [4] dex, y, z; et d’ailleurs ces relations peuvent se trouver directement.D’abord il est clair que a t b , c, sont les cosinus des angles formes parl’axe des x avec ceux des a/, y 7 , z' ; et puisque ceux-ci sont rectangulaires,on doit avoir a a =i. Même raisonnement à l’égard de a', b', d ,

et de a ", b", c". En second lieu, l’angle ( xy ) a pour cosinus aa' -\-bb' -\-cd :or, cet angle étant droit, on a aa' -\-bb' -\-cd = o. Même raisonnementpour les angles (xz) et (yz) . Ainsi, en même temps que les équations [a]et [4] , on a toujours les suivantes :

l«]

a a 4 J - 4 - c* = i ,a'’+b'> + d’ = i,

H

aa f ~\-bb r r=:o,

flû" ~\-bb n -J-cc":^io,aV' + M"+cV'=o*

On peut encore, par des considérations géométriques, arriver à d’autreséquations j mais il resterait alors des difficultés sur quelques signes ambi-gus. Il sera mieux de les établir comme conséquences des équations [«] et[b] j et tel est l’objet du théorème suivant, dans lequel on retrouve aussiles dernières équations [c] et [d].

Sur les équations de condition entre les neuf cocfliciens a, a'j....

590 . Théorème. Quelles que soient les neuf quantités a , a', a", b, b\ b*',c , c', c", si elles satisfont aux six équations

= i f

t«] z> a + è ' a + £" a = 1 ,

(c* + d* + c ‘" — 1 »

ab + a'b' + a" b" = o,ac -J- a'd -J-a"c"=:o,bc + b'd + b"c" = o,

je dis qu’elles satisferont également à celles-ci,

-j- b 1 d — 1 , 1 aa> -f" 44' -J- ce' — o,

[c] «'* + 4'* + </* = 1 , [d] aa" + 44" + cc" = o ,

a"' j». c ,„ =If ( a'a"+ Vb" + de" = o ;

et encore aux dix suivantes, dans lesquelles on devra prendre les signessupérieurs ensemble, ou bien les signes inférieurs ensemble :

[ e ]

b'c" — db"=± a,da" — a'c"=±b,a'b" — b'a«=±c,ab'c” — ad b 11 -J- ca'4"

cb" — bd' —± a',ac" — ca" —: •+" h ’,ba" — ab" — ±d,— ba'c" -j- bd a" —

bd — c4' —±a",ca' — ad — ~+~ h".ab' — ba' — ±c”,cb'a"—± i.