GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 439

Pour avoir les relations [e], il suffit donc de faire voir que a=±i. acet effet, ajoutons les carrés des équations qui composent la premièreligne des neuf équations ci-dessus; et en remarquant queil vient

= </&")“ +(c& w — 6 c H ) 1 + ( 6 c' —cfe')*

= (ôa-fJ/’-f &»*) ( c * + c /a +c“ 1 ) — ( 6 c + &V + wy.

Mais, en vertu des relations données [a] et [A], le dernier membre seréduit à l’unité; donc i, et par conséquent les équations [e] sont

aussi démontrées.

Remarquez bien que dans toute notre démonstration les quantitésa t a' , ne sont assujetties qu’aux conditions exprimées par les équa-

tions [a] et [&]; de sorte qu’elles peuvent être, d’ailleurs, indifféremmentnégatives ou positives, plus grandes ou plus petites que l’unité, imagi-naires ou réelles. Ce serait donc établir une restriction inutile que de lesconsidérer comme des cosinus, ainsi que l’ont fait quelques auteurs.

Formules d’EuLER , pour passer des axes rectangulaires à d’autres axes rectangulaires,au moyen de trois angles, p , @ , 4.

591. Le changement des axes rectangulaires en d’autres axes rectangu-laires étant celui qu’on rencontre le plus fréquemment dans les applica-tions de l’analyse, les géomètres ont présenté sous des formes très-variéesles formules propres à ce cas. Celles que nous avons données plus haut( 58 j) sont fort simples sans doute, et elles ont l’avantage de conduire àdes calculs symétriques; mais aussi elles ont l’inconvénient d'entraînertoujours à leur suite des équations de condition , auxquelles il faut avoirégard dans le calcul. Il n’en est ainsi que parce que ces valeurs contiennentneuf constantes, a , b , c, etc., tandis qu’il n’en faut réellement que troispour fixer les directions des nouveaux axes. C’est pourquoi nous allonsnous réduire strictement à ce nombre de données, et prendre avec Euler trois angles p, 0 , 4 » savoir (fig. a 5 ) ;

p — l’angle ROx , compris entre l’axe des x et la trace OR du plan dex'y' sur celui de xy,

0 = l’inclinaison du plan de x'y f sur le plan de xy ;

+ = l’angle ROx', compris entre l’axe des x' et la trace OR.

11 y a plusieurs moyens d’arriver aux formules qui ne contiennent queces données : celui qu’on va exposer consiste à chercher les valeurs desneuf cosinus a , b , c , etc., en fonctions des trois angles p , ô , 4 *

Concevons que le point O soit le centre d’une sphère dont la surface estrencontrée aux points A, B, C, D, E, par les lignes Ox, OR, Ox', Or, O z;et formons les triangles sphériques ABC,BDC, BCE. En supposant lesarcs et les angles évalués en degrés, on a AB=p, BD = 90°—p,BC= 4 , BE= 9 o°, CBD = ô, CBA= 180® — 0 , CBE — 90° — Ô.

Rappelons la formule connue ( 9 3 )

cos a = cos 0 cos y sin 0 sin y cos A,

dans laquelle x , 0 , y, sont les trois côtés d’un triangle sphérique, et A