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TROISIÈME PARTIE.

Vanglc opposé au côté et. En appliquant cette formule aux trianglesABC, BDC, BCE, on obtient facilement cos CA, cos CD, cos CE, c'est-à-dire a f a'y a". On trouve ainsi

a z=z cos CA = cos p cos 4 — smp sin 4 cos 0 ,a! = cos CD=r sin p cos 4 -f' cos 0 sin 4 cos 0 ,a 11 =: cos CE = sin 4 sin 0 .

Il est facile de déduire de ces valeurs celles de b , Ô', b l \ c , c', c". Eneffet , si on change d’abord 4 en 90° 4- 4, la ligne Ox ' va sc placer surOjr', et par suite les valeurs de a, a', a" deviennent celles de b f b' , b u :savoir,

b — — cos p sin 4 —sin p cos 4 cos 0 ,b' =: — sin p sin ++ cos p COS 4 COS 0 ,b 11 = cos 4 sin 0 .

Ensuite, si on remplace 0 par 9o°-^-0 dans les valeurs de a , a', a' f , leplan a/OR. devient z'OR; et si on fait en outre 4 =: 9 0<> > l a ligue 0 .x'devient : on obtient ainsi

c ~ sin p sin 0,

</ =—cos p sin 0 ,

c"=HCOS0.

En substituant toutes ces valeurs dans les formules [4] du n° 587, il vient

fx=x'(cosp cos4—sin p sin 4 cos 0 )

I —-^(cosp sin 44- sin pcos4cos0) -f-z' sin p sin 0,

[6] \ y=x'(sin p cos 4+cos p sin 4 cos 0)

I —;y'(sinpsin 4 —cospcos 4 co 30 )—y cos p sin 0 ,

{ z =x' sin 4 sin 0 -J-j^cos 4 sin 0 4 “ z ' cos 0.

Telles sont les formules d’EüLER . Leur généralité est sujette à unelégère restriction, laquelle résulte de ce qu'on a supposé, en calculantb y Vy b x \ que la portion d'axe sur laquelle se comptent les valeurs posi-tives de y' était placée, par rapport à la trace OR, à 90° au-delà de l'axedes x f . Si on voulait qu'elles fussent comptées du côté opposé Oy,, il fau-drait, en passant des expressions de a, a !, u", à celles de b t b\ b 11 ,remplacer 4 > non par 9 0<> *4"4> mais bien par 370° 4*4 sou, ce qui est plussimple, on changerait dans les formules [ 6 ] les signes des termes en /.

59a. Quand on prend la trace OR pour ligne des x', les formules sesimplifient considérablement. 11 faut alors faire 4=0, ce qui les réduitaux suivantes :

[7]

x 7 zzx r cos p — y' sin p cos 0 4- sin p sin 0 ,X—x / sin p 4 -y' cos p cos 0 — z' cos p sin 0 ,z ==y' sin 0 4* ^ cos 0 .

Formules pour trouver l’intersection d'une surface par un plan.

593. Lorsqu’on a l'équation d'upe surface T(x ,y, z)z=z o, et qu'on veutconnaître l'intersection de cette surface par un plan, la première idée