GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 441

qui se présente, c’est de rapporter cette intersection à deux axes tracésdans son plan même : or voici une méthode pour y parvenir.

Supposons que les axes des x, y, z, soient rectangulaires. Afin dedéplacer aussi l’origine des coordonnées, ajoutons aux valeurs [6] lescoordonnées^, g y h , de la nouvelle origine (583), et substituons ensuiteces valeurs dans l’équation F(x,^y, z) = o. Alors la surface sera rapportéeaux nouveaux axesj et si on fait / = o dans l'cquation résultante, onaura l’intersection de cette surface par le plan de x(y', qu’on peut tou-jours supposer être le plan donné.

Mais on peut faire z' r=o dans les formules avant la substitution ; etmême, si on n’a point d’autre but que de connaître l’intersection de lasurface, on peut simplifier encore les calculs en prenant la ligne des x'parallèle à la trace OR (fig. a5), ce qui revient à supposer De cette

manière on a

1 x "xxif -^-x'cos p — y sin p cos ô,r=s+ x'sino-J-y'cosp cos 0,z=:/t-j-^/sinê.

Ces valeurs ne conviennent plus qu’au plan donné, de sorte qu’en les met-tant dans F(x > jr t z)=o, on aura l’équation de la section cherchée.

594. Si on veut trouver directement les formules [8], on le fera par laconstruction suivante. Soit M (fig. 26) un point quelconque pris dans leplan^/Ox', dont la trace sur le plan xOy est Ox'; et soient les coordon-nées

OP—x, PQ=r, QM=z, OP'"a/, P'M=r/.

Joignez P'Q, et menez P'G parallèle à Oyet P'H parallèle à Ox. La ligneP'Q est perpendiculaire à Ox', l’angle HQP' est égal à xOx', et l’angleMP'Q est égal à l’inclinaison du plan y Ox' sur le plan yOx : on faitMP'Q“Ô et x'Oxzrp. Cela posé, les triangles rectangles ÎVÏQP', QP'H,OGP', donnent

MQ —y* sin 0, QP' — y 7 cos 0 ;

HP' = QP' sin p , HQ =: QP'cos p ;

OG=x'cosp, GP'= a/sin 0.

Mais oü a

x=OG—HP', r =GP'+HQ, ztzrMQ;

et, en mettant au lieu des lignes leurs valeurs, puis ajoutant les con-stantes^, g y h, on retrouve les formules [8].

Coordonnées polaires.

595. Une autre sorte de transformation est encore usitée : c’est celle de9coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires . Supposons (fig. 27)que la ligne OM soit projetée en OM ' sur le plan de xy, et qu’on donne ladistance OM , l’angle MOM' formé par cette ligne avec sa projection surle plan xOy, et l’angle M'Ox que cette projection fait avec l’axe des x.Posons OMtrzfMOM'tnS, M'Ox“® : et soient toujours OP“x,