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TROISIÈME PARTIS.

CHAPITRE VI.

DU CENTRE. PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES. PLANS ET AXESPRINCIPAUX.

Recherche du centre dans le cas le plus général.

617. Quand une surfaco du second ordro a un centre et qu'on y placel’origine, les termes du premier degré doivent s’anéantir (Coq); donc,pour connaître si la surface a un centre, il suffit de transporter les axes,parallèlement à eux-mêmes, à une origino quelconque, et de déterminerensuite, s’il est possible, les coordonnées de cette origine par la conditionque les termes du premier degré disparaissent. Prenons l’équation générale[A] Ax*-J-A'/* -f- A”z‘ -j- aBary-)- aB'a:z-|-2B"y*

+ + aC'/ + aC"* + F = o,

et changeons-y x,y, z, enar-| -f,y-\-g, 2 + /1. En faisant, pour abréger,D=A/+B, ? -f-B'/i+C,

D' = A'#-i-B/ -j-B'/< + C',

D» = A*&+B'/ + B- ff + C*,

G = A/’ -j-A , ÿ , -fA"/i*+ ityg + aB 'fh + qB « s h

+ aC/ + aC' A < -f 2 C'A + F,

il viendra nne nouvelle équation, de la forme

Aj 1 -{- A 'y % -)- A** 1 -j- aHry-J- aB'arz -j- aB "yz

' -p aDa 4- aD 'y -J- aD "z -j- G = o.

Remarquez : 1° que les termes du second degré ont les mêmes coefïï-ciens que dans la proposée; a 0 que ceux du premier degré peuvent s’ob-tenir en mettant^, g, h, à la place de x,y, z, dans les polynômes déri-vés, relatifs à x, y, z, du premier membre de la proposée; 3 ° que lapartie constante G n’est autre que ce premier membre dans lequel on aopéré les mêmc3 substitutions.

Puisqu’on veut faire disparaître les termes du piremicr degré, on posera[1] D = o, D' = o, D" = o:

alors l’origine sera placée au contre, et l’équation de la surface devientLG] Aa“ + K y’ + AV -f aBa:y+ aB'a:z + aTV'vc + G = o.

En même temps l’expression de G se simplifie considérablement: car,si après avoir multiplié les équations [1] respectivement par f, g, h, onles retranche de G, il vient -, ÿ -ÿS

G=C/+ Ç's -f C"/t -f F.

Il est bon aussi de remarquer que dans les valeurs générales de f, g, h,