GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 455

déduites des équations [i], le dénominateur commun, que j’appelleraiK, est K = AB' /:, + A'B' 3 4 .A"B’ — AA'A" — aBB'B".

618. Les équations [i] font connaître f, g, h. En considérant ces coor-données comme des variables, les équations [i] représentent trois plans jet c’est l’intersection de ces plans qui détermine le centre. Alors se pré-sentent les distinctions suivantes :

i° Quand les plans ont un point commun et qu’ils n’en ont qu’un , lasurface a un centre unique : c’est le cas le plus général.

2° Quand les trois plans se coupent suivant la même droite, tous lespoints de cette droite sont des centres.

3 ° Quand les trois plans sc confondent en un seul, tous les points de ceplan peuvent être pris pour centres.

4 ° Enfin , quand aucun point n’est commun aux trois plans à la fois,et c’est ce qui arrive quand ils sont parallèles, ou quand l’un d’eux est.parallèle à l’intersection des deux autres. Alors la surface n’a point decentre, ou plutôt le centre est à l’infini : car, dans ce cas, les valeursgénérales àef, g , h , déduites des équations [i] , deviennent infinies , ouau moins l’une d’elles.

619. Il est évident qu’on doit avoir, dans le premier cas, l’une destrois surfaces douées de centre, ou un cône, ou un point unique, ou uncas d’impossibilité. Dans le second, on a un cylindre elliptique ou hyper-bolique, ou deux plans qui se coupent, ou une droite, ou un cas d’impos-sibilité. Dans le troisième, on a deux plans parallèles, ou un seul plan ,ou deux plans imaginaires. Dans le quatrième, on a l’un des deux para-boloïdes, ou bien un cylindre parabolique.

Des plans diamétraux en général.

620. Un plan diamétral doit couper en leurs milieux une suite de cordesparallèles ( 6 o 5 ). Rien de plus facile que d’appliquer le calcul à ccttc défi-nition. Soient

[>] x=:i-z + (, y—f'z+g',

les équations d’une corde quelconque, «T et £' étant constans, mais f et ç'étant variables d’une corde à une autre. Substituons ces valeurs dansl’équation générale [A], et posons, pour abréger,

R = A<r a + A'<f' a + A" +aB<r<r , + aB / <r + 2B'M'',

S — AcTf -fA'<r' f '+ bv + + B'* + By+C«r+C'r+C'',

T= Af a ^ A'?' a -J-aB??' -f- sCf -j-aC'f'-J-F :

il viendra

[2] Rz a —

Les racines de cette équation sont les valeurs de z , aux points où la corde

rencontre la surface. La demi-somme de ces deux valeurs est-——, cl

R

c’est une des coordonnées du milieu de la corde j donc , en désignant cettecoordonnée par z , on aura z = — , ou

[ 3 ] Rz-fS = o.