GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 457

déjà faite (6o3), considérer les paraboloïdes comme ayant un .contre situéà une distance infinie ; et c’est ce qu'il convient de faire dans tous les casanalogues, afin d’éviter les détails trop minutieux.

^ Des diamètres.

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624. La recherche des diamètres est facile ; mais, pour diminuer laprolixité des calculs , nous prendrons, au lieu de l’équation générale [A],celle-ci

[H] Par* + P'y' + P"^ = H-f.aQar,

qui est plus simple, et qui cependant comprend toutes les surfaces du se-cond ordre : car les équations [E] et [F] du n° 601 en sont des cas parti-culiers.

Le diamètre, d’après sa définition (6ojj), doit passer par les centres dessections faites dans la surface par une suite de plans parallèles. Soit

[i] y,

l’équation d’un de ces plans, « et a' étant constans et y variable : l’élimi-nation de z entre [i] et [H] fera connaître la projection de la section surle plan de zjr. Il vient

[a] (P-j-P"<t*)ar*»|-(P'-J-P"ix'’)y’-j-2P w ita'a‘y'

+a ( P"*> — Q ) *+aP"*'^+P V — H = o.

Les seules courbes que puisse donner un plan, en coupant une surfacedu second ordre, sont l'ellipse, l’hyperbole et la parabole (597) j et il estévident que si la projection est une ellipse ou une hyperbole, la sectionelle-même ne pourra être qu’une ellipse ou une hyperbole. De plus, il estfacile de voir que le centre de la projection est la projection du centre dela section. En conséquence , je supposerai que l’équation [a] représenteune ellipse ou une hyperbole, et je vais déterminer les coordonnées ducentre de cette projection. Pour les obtenir, il faut (260) égaler à zéroles polynômes dérivés, relatifs à x et à r, du premier membre de l’équa-tion [a] ; et on trouve, ainsi,

[3] (P 4. P"* a )x + PWy-(-P"ay =Q,

[4] ( P' + P'V ’)r-i-P'W*-fP"a/>=o.

Dans ces équations 1 ety sont deux des trois coordonnées du cent re dela section; l’équation [1] ferait connaître la troisième z. Mais, pouravoir le lieu des centres de toutes les sections parallèles qui proviennentdelà variation de y , il sera inutile de chercher les valeurs de x, y, z 1 ilsuffira d’éliminer y entre fi], [3 ], [4]. On obtient, pour résultat, leséquations

[5] P*+P"*z = Q, P'y+ ?"*'« = o,

qui sont du premier degré, et qui sont celles d’un diamètre quelconquede la surface.

6 j 5. Quand la surface a un centre, on peut faire Q = o , et ces équa-tions deviennent

Pat + P"*i = o, P'y+PVr = o.