458 TROISIÈME PARTIE.
En choisissant convenablement *. et la droite qu’elles représententprend toutes les positions possibles autour de l’origine. De la on conclutque tous les diamètres passent au centre; et, réciproquement, que toutedroite menée par te centre est un diamètre.
626. Quand la surface n’a point de centre, on peut supposer =
P = o j et les équations [ 5 ] donnent •
_ Q Q*'
P"*’ P'*'
Or, on peut déterminer a et a ' de manière que y et z aient telles gran-deurs qu’on voudra ; dono, dans les paraboloïdes, les diamètres sont pa-rallèles à la ligne des xj et, réciproquement, toute droite qui a cette direc-tion est un diamètre .
Plans et diamètres principaux.
627. On a nommé ( 6 o 5 ) plan principal un plan diamétral perpendicu-laire à ses cordes conjuguées, c’est-à-dire aux cordes parallèles qu'il coupepar moitié. Par conséquent, pour avoir tous les plans principaux d’unesurface du second ordre, il suffit d’établir les équations qui exprimentcette condition. Jusqu’à présent on n’a fait aucune hypothèse sur la direc-tion des coordonnées dans l’équation [A] ; et il est permis de les supposerrectangulaires. Alors, pour que le plan diamétral soit perpendiculaireaux cordes conjuguées, il faut ( 566 ), entre les coefficiens des équations [1]et [4] du n° 620, poser les relations
f -, \ AJ + BJ'+B':=(A'' + B , J- 4 -B''J / )<*\
I AV'+ BJ 4 -B''==:(A'' 4 -B',J 4 -B''<f'')‘ r '-
Elles feront connaître J et J', et par suite les plans principaux.
Afin d’avoir des calculs symétriques, faisons A ,f = x : aulieu de deux inconnues on en aura trois, J, J', x, qui seront déterminéespar les équations
[2] A'J' + BJ + B" = xJ',f A" 4 -B / J+B"J / —x.
Les deux premières donnent
(x — A')B'+BB ff (x — A 1 B"+BB'
S — (*_A)(x — A'T^-TP’ * (x —A)(x — A')—B a ’
valeurs qui seront réelles si x n’est point imaginaire. En les substituantdans la troisième équation, il vient, toute réduction faite, et en dési-gnant par K. la même expression que dans le n° 617,
[3] * 3 _(A+A / +A>* + (AA / +AA"+A'A"— B 1 — B' 9 —B"*)x+K=o.
Telle est l’cquation qu’il faut résoudre pour connaître les valeurs de x,et ensuite celles de Jet J'.
628. Cette équation étaut de degré impair a au moins une racine réelle.Mais pour que cette racine détermine véritablement un plan principal,il ne faut pas que ce plan aille couper les axes coordonnés à des distancesinfinies. TVe considérons d’abord que les surfaces qui ont un centre. Alors